考研数学线性代数复习到强化阶段后很多同学容易出现一种“假性熟练”题目看着都见过公式也都背得出但一做就错、一深问就卡。尤其是在逆矩阵和矩阵运算相关题目上不少人的问题不是不会算而是对运算定义和运算律的理解不够扎实。本篇 Day36 的每日一题正好聚焦三个高频考点逆矩阵计算、矩阵运算定义、矩阵乘法运算律。题目本身并不复杂但它把定义、运算律和可逆性判断放在同一个场景里非常适合用来检验强化阶段的基础是否真正过关。如果你正在备考 27 考研数学或者是大一大二提前接触线性代数的同学这篇文章建议完整看一遍。文中不仅会给出题目的规范解法还会把“为什么能这么做”“常见的坑在哪里”一并讲清楚保证你看完不是只会做这一道题而是遇到同类题都能找到稳定的分析路径。1. Day36 题目一道题覆盖三个核心考点先看题目设 A、B 为 n 阶方阵且 AB EE 为 n 阶单位矩阵。 证明A 可逆B 可逆且 B A⁻¹。这道题适合放在两个阶段使用基础阶段学完逆矩阵定义之后用来检验对定义的掌握程度强化阶段刷题初期用来复习矩阵运算律和可逆矩阵的性质。很多同学拿到这道题的第一反应是条件只给了 AB E既没有给行列式也没有给 BA E怎么证明 A、B 都可逆这个疑问本身就是题目要考的核心。我们先把涉及的基本概念完整回顾一遍再逐步拆解证明思路。2. 前置知识回顾逆矩阵定义的深层逻辑2.1 矩阵运算中单位矩阵的作用单位矩阵 E 是矩阵运算中非常特殊的存在。它的对角线元素全为 1其余元素全为 0。任意矩阵与单位矩阵相乘结果仍是原矩阵AE A EA A无论 A 在左侧还是右侧单位矩阵都不改变 A。正因为 E 具备这种“乘法不变性”它才在逆矩阵定义中充当“标准参照物”。简单类比一下在实数乘法中任何数乘以 1 都等于它本身所以 1 是实数乘法中的单位元。单位矩阵 E 就是矩阵乘法中的单位元。判断一个矩阵是否可逆本质上就是在问能不能找到另一个矩阵让两者相乘的结果等于单位矩阵 E。把 AB E 中的 E 理解成“矩阵世界里的 1”题目条件就很直观了A 和 B 相乘得到了单位元说明两者之间存在某种“互逆”关系。2.2 方阵的逆矩阵定义线性代数教材中逆矩阵的标准定义如下设 A 是 n 阶方阵如果存在 n 阶方阵 B使得 AB BA E 则称 A 可逆B 称为 A 的逆矩阵记作 B A⁻¹。注意定义中的关键细节AB 和 BA 都必须等于 E两个等式缺一不可。但在实际做题时题目往往只给出 AB E没有直接给出 BA E。这就产生了一个自然的问题只验证单侧等式能不能说明矩阵可逆答案是可以但前提是 A 和 B 都是方阵。这是需要重点理解的一个细节后面专门解释。2.3 为什么方阵只要一侧可逆即可对于两个 n 阶方阵 A、B如果 AB E则 BA E 一定成立。也就是说对有限维方阵而言左逆和右逆是等价的左侧可逆存在 B使 BA E 右侧可逆存在 B使 AB E只要一个是另一个的逆那么另一个也自动是前者的逆。严格证明这个结论通常需要行列式或秩的理论支撑。强化阶段建议先把这个结论当成重要性质记住设 A、B 均为 n 阶方阵若 AB E则 A 可逆、B 可逆且 A⁻¹ BB⁻¹ A。为什么强调“方阵”因为只有方阵才有行列式和秩的完整理论。对于非方阵比如 2×3 矩阵和 3×2 矩阵相乘结果可能是 2×2 单位阵但矩阵本身谈不上“可逆”因为可逆性的前提是方阵且存在双侧逆矩阵。非方阵即使存在单侧逆也没有完整的逆矩阵概念。这一点在概念辨析题中经常出现值得留意。2.4 矩阵乘法不满足交换律带来的影响矩阵乘法与实数乘法最大的区别之一就是矩阵乘法不满足交换律。一般情况下AB ≠ BA但在逆矩阵和单位矩阵参与的特定场景中交换可能成立AE EA A AA⁻¹ A⁻¹A E也就是说A 与单位矩阵可交换A 与自己的逆矩阵可交换。这两个结论在运算中会频繁使用但不要错误推广成“任意两个矩阵都能交换”。题目中 AB E 这个条件的精妙之处在于它同时暗示了 A 和 B 在乘法意义下互为逆矩阵而这种互逆关系本身就保证了 AB BA E。3. 核心思路拆解拿到题目后先想定义3.1 第一步判断题目类型拿到这道题不建议直接去算行列式更不建议试图把 A、B 的元素具体表示出来。题目给的是抽象矩阵只给了 A、B 之间的乘法关系这种题型通常要回到定义本身去分析。判断题型的目的是找到这一题对应的“基本工具”。看到 AB E应该立刻联想到逆矩阵定义中 AB BA E 的形式。题目虽然只给了 AB E但既然涉及 n 阶方阵就可以把“方阵左逆等于右逆”的结论作为桥梁。3.2 第二步明确要证明的目标题目总共给出了三个结论① A 可逆 ② B 可逆 ③ B A⁻¹这三个结论不是彼此独立的。只要证明了 A 可逆并且证明了 B 满足 A⁻¹ 的唯一性条件那么①②③可以整体解决。关键是找到合适的推理路径。有些同学的思路是先算 |A| ≠ 0 说明 A 可逆再算 |B| ≠ 0 说明 B 可逆最后说明 B A⁻¹。这种思路方向正确但在抽象矩阵场景下往往不够直接因为题目没有给出 A、B 的具体元素行列式无从算起。更符合强化阶段要求的思路是定义法。3.3 第三步观察 AB E 等于“直接给出右逆”由 AB E 可知B 是 A 的右逆矩阵。根据前面的性质对于 n 阶方阵存在右逆就意味着 A 可逆并且该右逆就是 A 的逆矩阵。所以可以直接得到B A⁻¹同理AB E 也可以解读为 A 是 B 的左逆矩阵因此 B 也可逆并且 A B⁻¹。换句话说题目给出的条件 AB E 已经同时蕴含了三层信息A 可逆 B 可逆 A 和 B 互为逆矩阵很多同学卡住是因为对“逆矩阵定义中为什么要同时写 AB BA E”理解得不够透。定义里写双侧等式是为了保证定义严谨但实际判断可逆性时只要矩阵是方阵单侧等式就足够推出双侧等式。3.4 第四步用行列式辅助验证如果觉得上面的推理太“抽象”还可以从行列式的角度再验证一遍。对 AB E 两边同时取行列式|AB| |E|由行列式乘法公式|A| · |B| 1两个数的乘积等于 1说明 |A| ≠ 0 且 |B| ≠ 0。因此 A 和 B 都可逆。这个证明也非常简洁而且能够直观地看到 A、B 的可逆性来源于行列式非零。两种思路都可以但适用场景略有不同方法适用场景优点定义法抽象矩阵、证明题直接衔接 B A⁻¹适合证明唯一性行列式法有具体元素或需要判断可逆性简洁快速结果一目了然4. 解法呈现定义法与行列式法双路径4.1 方法一定义法证明推荐完整证明过程如下因为 AB E 所以 B 是 A 的右逆矩阵。 由于 A、B 均为 n 阶方阵n 阶方阵的左逆与右逆等价 因此 A 可逆且 A 的逆矩阵就是 B即 A⁻¹ B 同时由 A⁻¹ B 可知 B 也可逆且 B⁻¹ A。 所以原题结论成立A 可逆B 可逆B A⁻¹。如果老师要求严格还没学到“方阵单侧逆等价于双侧逆”这个结论可以补充一个基于定义的双侧验证但需要借助行列式的知识保证 A⁻¹ 的存在性。完整的可逆性论证是绕不开行列式或者秩的理论的。从考试角度看Day36 阶段的证明题普遍允许直接使用“AB E ⇒ A、B 可逆”这一性质前提是题目明确说了 A、B 为 n 阶方阵。如果题目只说 A、B 是同型矩阵没说是方阵则不能直接套用这个结论。4.2 方法二行列式辅助证明如果只想证明 A、B 可逆不要求证明 B A⁻¹则可使用行列式法由 AB E两边取行列式 |AB| |E| 根据 |AB| |A| · |B|以及 |E| 1得 |A| · |B| 1 因此 |A| ≠ 0|B| ≠ 0所以 A 可逆B 可逆。 又因为 A 可逆可在 AB E 两边同时左乘 A⁻¹ A⁻¹(AB) A⁻¹E 利用结合律 (A⁻¹A)B A⁻¹ EB A⁻¹ B A⁻¹最终得到 B A⁻¹。这个推导过程用到了两个关键运算律乘法结合律(A⁻¹A)B A⁻¹(AB)单位矩阵性质EB B。同时也提醒我们只有在矩阵乘法满足结合律的前提下对等式两边左乘同一个矩阵才是合法的恒等变形。4.3 两种方法的对比与取舍定义法更贴近“矩阵运算定义”的考查方向能帮你同时复习可逆、单位矩阵、逆矩阵的表达方式。行列式法则更偏向“用小工具快速解决判断问题”。实际考试中如果题目只让你证明可逆首选行列式法如果题目进一步要求证明某个矩阵等于另一个矩阵的逆则两者结合使用先用行列式法证明可逆 再用左乘或右乘 A⁻¹ 推导 B A⁻¹这种组合策略在强化阶段非常实用。5. 从 AB E 到 BA E 的深入思考5.1 为什么已知 AB E 可以推出 BA E前文反复强调对 n 阶方阵成立。下面的证明思路不依赖具体元素依靠行列式与逆矩阵即可完成第一步由 AB E 两边取行列式 |A| · |B| 1故 A、B 都可逆A⁻¹ 存在。 第二步在 AB E 两边同时左乘 A⁻¹ A⁻¹(AB) A⁻¹E (A⁻¹A)B A⁻¹ EB A⁻¹ B A⁻¹ 第三步验证 BA BA A⁻¹A E这就完整证明了由 AB E 可以推出 BA E。5.2 方阵条件不可或缺如果把“n 阶方阵”改为“m×n 矩阵 A 和 n×m 矩阵 B”结论可能失效。举个例子取 A [1 0]B [1; 0] 1×2 矩阵 与 2×1 矩阵计算 ABAB [1 0] · [1; 0] [1] E1 阶单位阵但 BABA [1; 0] · [1 0] [1 0] [0 0]BA 是 2×2 矩阵并不等于 2 阶单位阵。这说明非方阵即使满足 AB E也不能推出 BA E。因此看到 AB E 就想当然地认为 BA E是一种非常危险的习惯。做题前务必确认 A、B 是否为同阶方阵。5.3 这个结论在题目中的应用价值在选择题和证明题中这个结论可以直接缩短推理过程。例如例设 A、B 为 n 阶方阵AB E则下列结论正确的是 A. BA E B. A 不可逆 C. B 不可逆 D. AB ≠ E根据上面讨论A、B 均为 n 阶方阵且 AB E所以 A、B 都可逆且 BA E。正确选项为 A。如果把选项改成“若 A、B 不是方阵但 AB E则 BA E”那就不能选因为非方阵情况下单侧相等推不出另一侧相等。6. 易错点与高频误区警示6.1 错误假设 A、B 可逆再去推导有些同学做这道题时会先写出“设 A⁻¹ 存在”然后用 A⁻¹ 去左乘等式。这在逻辑上是循环论证题目要证的结论就是 A 可逆你却先把 A 可逆当条件用了。正确的顺序是先证明 A 可逆例如用行列式再左乘 A⁻¹ 推导 B A⁻¹。6.2 左乘、右乘混淆等式变形时如果要在两边同时乘一个矩阵必须明确是左乘还是右乘并且两边乘的方向要一致。已知 AB E若在两边左乘 A⁻¹ A⁻¹(AB) A⁻¹E 若在两边右乘 A⁻¹ (AB)A⁻¹ EA⁻¹左乘得到 B A⁻¹右乘得到 A(BA⁻¹) A⁻¹形式完全不同。原因就是矩阵乘法不满足交换律A⁻¹ 不能随意从左边换到右边。这也是初学线代时最容易翻车的地方解题时一定要“左手右手分清楚”。6.3 忽视方阵条件题目如果写“A、B 为 n 阶方阵”可以直接推可逆。但若题目只写“A、B 是矩阵”则 AB E 不能保证 A、B 都可逆因为可能是长方形矩阵逆矩阵概念本身就不一定适用。考试中常见的陷阱变形有两种① 设 A 是 m×n 矩阵B 是 n×m 矩阵AB E_mm 阶单位阵。 问 A 是否可逆 ② 设 A 是 n 阶方阵存在 n 阶方阵 B使 AB E。问 A 是否可逆第①题不能直接回答可逆因为 A 不一定是方阵第②题可以直接回答可逆。6.4 把 AB E 等同于 AB BAAB E 是已知条件但不代表题目告诉了你 AB BA。事实上由 AB E 推出 BA E 是需要证明的结论不是可以直接默认的事实。在书写证明过程时不要把 BA E 当成已知条件直接使用。7. 同类题训练三道题巩固逆矩阵与运算律7.1 配套练习 1逆矩阵定义直接应用设 A 为 n 阶可逆矩阵B 是满足 AB A E 的 n 阶矩阵。 证明B 可逆并求 B⁻¹。思路提示由 AB A E先观察能否把 A 提出来。 因为 A 可逆左乘 A⁻¹ 得 A⁻¹AB A⁻¹A A⁻¹E EB E A⁻¹ B E A⁻¹ 这说明 B 是 E 与 A⁻¹ 的和。判断 B 可逆还需要进一步变形利用 A E 与 A⁻¹ E 之间的关系 A⁻¹ E A⁻¹(E A) A⁻¹(A E) 因此 B A⁻¹(A E) 两边右乘 (A E)⁻¹ 无法直接说明 B 可逆更规范的方法是利用 AB A E 可化为 A(B - E) E说明 B - E A⁻¹所以 B E A⁻¹。 这里需要准确理解 B⁻¹ 的构造。此类题核心仍是若两个矩阵乘积等于 E即可逆且互为逆矩阵。本题不建议死记思路重点体会“从目标结论倒推”的分析方法。7.2 配套练习 2矩阵乘法运算律辨析设 A、B、C 均为 n 阶方阵且 AB ACA ≠ 0。 问能否推出 B C请说明理由。思路提示不能直接推出。 只有 A 可逆时才能由 AB AC 左乘 A⁻¹ 得到 B C。 若 A 不可逆则即使 A ≠ 0也可能存在 B ≠ C 使得 AB AC。 反例思路取 A 为某类特殊矩阵使 A(B - C) 0 但 B - C ≠ 0。这道题和 Day36 形成互补AB E 能推出可逆性但 AB AC 不能推出 B C除非 A 可逆。本质区别在于 E 是满秩矩阵而 0 矩阵不是。7.3 配套练习 3结合单位矩阵运算设 A、B 为 n 阶方阵且 AB E。 证明A²B 与 AB² 均为可逆矩阵并分别求它们的逆矩阵。思路提示由 AB E可得 A²B A(AB) AE A。 因为 A 可逆所以 A²B 可逆且 (A²B)⁻¹ A⁻¹。 同理 AB² (AB)B EB B。 因为 B 可逆所以 AB² 可逆且 (AB²)⁻¹ B⁻¹。做完这道题你能顺便检验自己是否熟悉乘法结合律的使用。A²B 应理解为 A·A·B先算后两个还是先算前两个是结合律发挥作用的地方。8. 总结与下一步复习建议Day36 这道题虽然只是一个小题但它背后串联的知识点并不少。从逆矩阵的定义出发牵扯出单位矩阵 E 的作用、左乘右乘的不可交换性、方阵单侧逆与双侧逆的关系、行列式与可逆性的联系、AB AC 能否消去等一系列内容。如果这些点都能自然地想通说明你对矩阵运算部分已经有了系统认识。关于逆矩阵备考中还有一个非常重要的提醒求逆矩阵要区分“抽象矩阵求逆”和“具体矩阵求逆”两条路线。抽象矩阵主要靠定义和运算律目标是凑出 AB E 的形式。 具体矩阵用伴随矩阵法或初等行变换法按步骤计算。Day36 属于前者不涉及具体数字所以重点在分析定义、凑结构。等进入具体计算题阶段还需要专门训练初等行变换求逆的熟练度那是另一类基本功。下一步复习建议可以按照下面顺序推进先熟练背诵逆矩阵的性质列表特别是 (AB)⁻¹ B⁻¹A⁻¹接着练习 5 到 8 道“抽象矩阵证明可逆”的题目训练如何把已知条件凑成 AB E再进入具体矩阵求逆计算每天保持 2 到 3 道三阶矩阵求逆的练习量最后回到真题梳理历年考过的矩阵运算选择题体会命题人对左乘右乘的考查方式。如果这篇文章对你有帮助可以收藏起来等复习到矩阵运算章节时再回来看一遍。下一题我们会继续围绕矩阵运算的另一个高频考点展开建议先把今天涉及的定义法证明和行列式法证明亲手写一遍不要只看不练。线代强化阶段动笔永远比动眼有效。