管理类考研数学第一章、第二章：整数和实数错题整理、对应知识点与解题思路

引言本篇整理了第一轮学习过程中整数与实数部分的经典题型、易错题及掌握不扎实的知识点。主要包括① 教材经典例题② 第一轮学习中的错题整理③ 对应知识点④ 解题思路⑤ 易错点总结⑥ 考前速记。整理目的记录自己的学习过程方便后续复习和查漏补缺。第一章 整数错题10是不是偶数【原题】按照一个数与2的整除关系我们可以将整数分为奇数和偶数。判断0属于偶数吗【对应知识点】整数的奇偶性。偶数定义能够被2整除的整数或者可以表示为2n。奇数定义不能被2整除的整数或者可以表示为2n1。【易错原因】容易凭生活直觉认为0不是正数所以不算偶数。但考试中判断奇偶不看正负只看能不能被2整除。【解题思路】因为02×0。所以0可以表示成2的整数倍。因此0是偶数。【以后怎么记】0是偶数。偶数的本质是能被2整除的整数。如果题目范围是整数偶数包括……-4-2024……奇数包括……-3-113……但管理类考研数学中很多题目默认讨论自然数或正整数这时要按照题目范围判断。所以记住一句话先看题目范围再判断奇偶。错题2聚会座位安排中的奇偶性【原题】有偶数位来宾。1聚会时所有来宾都被安排坐在一张圆桌周围且每位来宾与其邻座性别不同。2聚会时男宾人数是女宾人数的两倍。判断题干条件是否充分。【对应知识点】奇偶性座位排列男女数量关系。【易错原因】看到偶数位来宾。容易只关注总人数是偶数而忽略男女数量关系。圆桌上相邻性别不同。意味着男女必须交替出现。如果男女交替围坐那么男女人数必须相等。【解题思路】条件1每位来宾与邻座性别不同。说明必须男女交替排列。圆桌交替排列时男女人数必须相等。所以总人数一定是偶数。条件1可以推出总人数为偶数。条件2男宾人数是女宾人数的两倍。设女宾人数x。男宾人数2x。总人数x2x3x。总人数是否为偶数取决于x。如果x是偶数总人数是偶数。如果x是奇数总人数是奇数。所以条件2单独不充分。【以后怎么想】看到男女交替坐相邻性别不同。马上想到男女人数相等。看到男是女的两倍。马上设女x男2x总数3x。第二章 整数的整除与质因数错题3质因数分解777【原题】若几个质数的乘积为777则它们的和为 。A. 47B. 48C. 28D. 26E. 25【对应知识点】质数合数质因数分解。【易错原因】容易直接试7或者看到777就乱拆。质因数分解应该从小质数开始2、3、5、7、11……【解题思路】777不是偶数。不能被2整除。看是否能被3整除77721。21能被3整除。所以777能被3整除。7773×259。继续分解2597×37。所以7773×7×37。这些质数的和373747。答案选A。【以后怎么想】质因数分解不要乱试。固定顺序2→3→5→7→11→13……能被3整除的判断方法各位数字和能被3整除。错题4最大公约数与最小公倍数【原题】命题一两个数中量大的一个是4因此12与16的最大公约数为4。命题二求12、30这两个数的最大公约数和最小公倍数。【对应知识点】最大公约数最小公倍数短除法质因数分解。【易错原因】容易把两个数中的较小数。误认为最大公约数。最大公约数不是较小数而是两个数公共因数中最大的一个。最小公倍数也不是较大的那个数而是公共倍数中最小的一个。【解题思路】12分解122²×3。30分解302×3×5。最大公约数取公共部分。2×36。最小公倍数取所有质因数。2²×3×560。【以后怎么想】最大公约数取公共部分。最小公倍数取全部部分。口诀公约数看共有。公倍数看全有。第三章 整数整除的特征错题5120以内能被5整除的偶数【原题】120以内的自然数中能被5整除的偶数有 。A.24B.12C.13D.14E.25【对应知识点】自然数的定义偶数整除特征倍数分类计数。【易错原因】第一次做题时只想到既能被5整除。又是偶数。因此直接考虑10、20、30……120。忽略了0也是自然数0也是偶数0也能被5整除。因此少算一个。【解题思路】能被5整除个位只能是0或5。偶数个位只能是0、2、4、6、8。同时满足个位只能是0。因此满足条件的数都是10的倍数。本教材默认自然数包括0。所以满足条件的是0、10、20、30……120。共有120÷10113。其中1表示把0算进去。答案C。【以后怎么想】看到计数题。第一步先看自然数包不包含0。第二步考虑整除关系。第三步检查0是否符合条件。错题6n被8除余4【原题】当整数n被8除时其余数为4则下列 不是8的倍数。A.n-4B.n4C.2nD.3nE.4n【对应知识点】余数整除倍数。【易错原因】没有第一时间建立余数模型。看到被8除余4。应该马上设n8k4。【解题思路】设n8k4。An-48k。是8的倍数。Bn48k8。8(k1)。是8的倍数。C2n16k8。8(2k1)。是8的倍数。D3n24k12。8(3k1)4。不是8的倍数。E4n32k16。8(4k2)。是8的倍数。答案D。【以后怎么想】余数题万能模型如果n被a除余b。立即设nakb。不要凭感觉代数字。错题7四个不同正整数任意两个数的和是2的倍数【原题】有四个不同的正整数。任意两个数的和都是2的倍数。为了使这四个数的积尽可能小这四个数分别是 。A.1、3、5、9B.3、9、15、21C.1、3、7、9D.3、6、9、12E.1、3、5、7【对应知识点】奇偶性两数和的奇偶最值思想。【易错原因】只看到任意两个数的和是偶数。没有进一步分析四个数的奇偶性。【解题思路】两个数相加为偶数可能是奇奇。或者偶偶。任意两个都满足。说明四个数必须同奇偶。如果全偶最小是2、4、6、8。乘积较大。如果全奇最小是1、3、5、7。乘积较小。答案E。【以后怎么想】看到两数和为偶数。想到两个数同奇偶。看到任意两个。想到所有数奇偶一致。第四章 有理数与无理数错题8有理数与无理数的运算性质【原题】有理数与无理数具有如下运算性质① 有理数无理数无理数② 非零有理数×无理数无理数③ 若几个无理数相加得到有理数则无理部分一定相互抵消。【对应知识点】有理数无理数实数分类无理数运算。【易错原因】容易死记有理数无理数一定是无理数。但是多个无理数相加时可能互相抵消。例如(2√3)(3-√3)5。结果是有理数。【解题思路】单独一个有理数和一个无理数相加结果一定是无理数。但是多个无理数相加要观察根号部分是否能够抵消。不要看到根号就直接下结论。【以后怎么想】看到无理数运算第一步看有没有相同根号。第二步看根号部分能不能抵消。不要只看有没有√。错题9实数相等有理部分与无理部分拆分【原题】一个实数可以表示成kabα。其中a、b是有理数α是无理数。当b0时k是有理数。当b≠0时k是无理数。如果两个实数相等那么对应的有理部分和无理部分分别相等。【对应知识点】有理部分无理部分实数相等。【易错原因】看到根号容易整体计算。没有想到拆开处理。【解题思路】例如ab√mcd√m。则有理部分ac。无理部分bd。分别比较。不要整体运算。【以后怎么想】看到ab√m。第一反应拆成两部分。有理部分。无理部分。分别处理。错题10含根号的二元一次方程【原题】若(12√3)x(1-√3)y-25√30。则xy的值为 。A.0B.1C.2D.3E.无法确定【对应知识点】有理部分无理部分二元一次方程。【易错原因】容易直接求x和y。其实没有必要。【解题思路】整理原式有理部分xy-2。无理部分(2x-y5)√3。因为整个式子等于0。所以有理部分0。无理部分0。得到xy-20。2x-y50。题目只要求xy。由第一式直接得到xy2。答案C。【以后怎么想】看到根号未知数。不要急着求x、y。先拆有理部分。无理部分。分别等于0。题目问什么求什么。有时候第一步就出答案。第五章 裂项相消错题11基础裂项公式【原题】对于1/[n(nk)]。因为(nk)-nk。所以可以拆成1/[n(nk)]1/k×[1/n1/(nk)]。利用这个公式进行裂项。【对应知识点】裂项相消连续求和分式拆分。【易错原因】看到分式直接计算。没有观察分母结构。【解题思路】观察分母n和nk。两个因子相差固定值k。这种形式优先考虑裂项。不要直接通分。不要硬算。【以后怎么想】看到1/[n(n1)]1/[n(n2)]1/[n(nk)]。马上问自己这题能不能裂项只要分母两个因子相差固定就优先考虑裂项。错题12裂项相消求和【原题】求1/(3×5)1/(5×7)……1/(37×39) A. 6/37B. 12/37C. 2/13D. 4/13E. 1/40【对应知识点】裂项相消连续求和等差分母。【易错原因】容易直接通分。计算量太大。没有观察分母之间的关系。【解题思路】观察分母3和5相差25和7相差2……37和39相差2。因此每一项都可以裂项。例如1/(3×5)1/2×(1/31/5)。1/(5×7)1/2×(1/51/7)。……1/(37×39)1/2×(1/371/39)。中间大量抵消。最后只剩1/2×(1/31/39)。1/2×(36/117)1/2×(12/39)6/392/13。答案C。【以后怎么想】连续求和。不要急着算。先观察分母两个因子是不是相差固定。如果固定。优先考虑裂项。错题13连续奇偶平方差【原题】求(1²3²5²7²9²)(2²4²6²8²10²) A.55B.-55C.45D.-45E.0【对应知识点】平方差配对计算整体思想。【易错原因】容易分别计算奇数平方和、偶数平方和。计算量很大。【解题思路】重新配对(1²2²)(3²4²)(5²6²)(7²8²)(9²10²)。利用平方差a²b²(a-b)(ab)。得到1²2²-3。3²4²-7。5²6²-11。7²8²-15。9²10²-19。所以-3-7-11-15-19-55。答案B。【以后怎么想】看到两组平方和相减。不要分别求平方和。先配对。再利用平方差。计算更快。错题14交错带分数求和【原题】求1又5/62又7/123又9/204又11/305又13/426又15/56 A.-3B.-2C.-1D.-21/8E.21/8【对应知识点】带分数拆分裂项交错求和。【易错原因】看到带分数容易直接通分。计算特别复杂。【解题思路】第一步把带分数拆开。整数部分和分数部分分别处理。观察分数5/67/129/2011/30……分母分别为2×33×44×55×6……分子分别为23344556……因此(ab)/(ab)可以拆成1/a1/b。把每项拆开以后。结合正负号分别计算。计算量会大大减少。【以后怎么想】看到带分数。先拆。看到分母两个连续数相乘。看看能不能裂项。看到分子等于分母两个因子的和。马上想到(ab)/(ab)1/a1/b。不要直接通分。错题15连乘相消【原题】求(11/2)(1-1/2)(11/3)(1-1/3)……(11/2025)(1-1/2025) A.1013/2025B.2013/2025C.2023/2025D.2024/2025E.2026/2025【对应知识点】平方差连乘相消整体化简。【易错原因】看到很多项连乘容易从前往后直接计算。没有先观察每一组。【解题思路】先看一组(11/n)(1-1/n)利用平方差1-1/n²。进一步化简(n²-1)/n²。(n-1)(n1)/n²。(n-1)/n × (n1)/n。整个式子变成两组连乘。前一组1/2×2/3×3/4×……×2024/2025。结果1/2025。后一组3/2×4/3×5/4×……×2026/2025。结果2026/2。所以1/2025×2026/21013/2025。答案A。【以后怎么想】看到(1a)(1-a)。马上想到平方差。看到连续乘积。看看能不能相消。不要直接乘。错题16根式倒数求和【原题】求1/(√49√48)1/(√48√47)……1/(√3√2)1/(√2√1) A.2B.4C.6D.8E.10【对应知识点】分母有理化共轭裂项相消。【易错原因】看到根号分母就害怕。想直接计算。【解题思路】例如1/(√49√48)。乘共轭(√49-√48)。得到√49-√48。后面同理√48-√47。……√2-√1。中间全部抵消。最后√49-√17-16。答案C。【以后怎么想】看到1/(√a√b)。第一反应乘共轭。连续求和。看看能不能相消。错题17已知a、b求根式【原题】已知a1/(√5-2)。b1/(√52)。求√(a²b²-2)。【对应知识点】分母有理化平方公式整体代换。【易错原因】容易分别求a²和b²。计算复杂。【解题思路】先求ab。ab1。所以a²b²-2a²b²-2ab(a-b)²。因此√(a²b²-2)|a-b|。再化简a√52。b√5-2。所以a-b4。结果4。答案E。【以后怎么想】看到a²b²-2。先看看ab是不是1。如果是。优先想到(a-b)²。错题18共轭根式综合题【原题】已知a(√3-√2)/(√3√2)。b(√3√2)/(√3-√2)。求3a²-5ab3b²。【对应知识点】共轭整体代换倒数关系。【易错原因】容易直接求平方。计算量很大。【解题思路】先看ab1。再求ab。利用共轭化简a5-2√6。b52√6。所以ab10。再利用a²b²(ab)²-2ab。100-2。98。原式3(a²b²)-5ab。3×98-5。289。答案D。【以后怎么想】看到两个互为倒数的根式。先求ab。再求ab。不要直接平方。错题19共轭高次幂【原题】求(√3√2)²⁰²⁵(√3-√2)²⁰²³ A.√6B.2√6C.5D.5√6E.52√6【对应知识点】共轭平方差指数配对。【易错原因】看到2025次方。容易直接慌。【解题思路】先配对[(√3√2)(√3-√2)]²⁰²³。而(√3√2)(√3-√2)3-21。所以原式(√3√2)²。322√6。52√6。答案E。【以后怎么想】看到√a√b。和√a-√b。同时出现。先想共轭。看到高次幂。先配对。不要展开。本章我的易错点⭐⭐⭐⭐⭐□ 0是不是偶数。□ 自然数是否包含0。□ 质因数分解先试2、3、5、7。□ 余数先设nakb。□ 有理部分与无理部分拆分。□ 根式先看共轭。□ 连续求和先看裂项。□ 连乘先看相消。□ 高次幂先配对。本章考前速记① 0是偶数。② 1不是质数也不是合数。③ 2是唯一偶质数。④ 自然数题先看看0算不算。⑤ 余数题先设nakb。⑥ 有理部分和无理部分分别处理。⑦ 分母有根号先乘共轭。⑧ 连续求和先想裂项。⑨ 连续乘积先想相消。⑩ 共轭根式高次幂先配对不展开。第六章 本章知识点总结一、整数必记① 0是偶数。② 0既不是正数也不是负数。③ 1既不是质数也不是合数。④ 2是唯一的偶质数。⑤ 连续两个整数一定互质。二、整除必记能被2整除个位是0、2、4、6、8。能被3整除各位数字之和能被3整除。能被4整除末两位组成的数能被4整除。能被5整除个位是0或5。能被8整除末三位组成的数能被8整除。能被9整除各位数字之和能被9整除。三、质数与合数必记1不是质数。1不是合数。2是唯一偶质数。质因数分解顺序2→3→5→7→11→13……不要乱试。四、最大公约数和最小公倍数必记最大公约数取公共部分。最小公倍数取全部部分。两个数最大公约数×最小公倍数两个数的乘积。五、余数必记如果n除以a余b。立即设nakb。其中0≤ba。不要直接代数字。六、有理数与无理数必记有理数有限小数无限循环小数。无理数无限不循环小数。看到ab√m。优先拆有理部分无理部分。分别处理。七、根式必记看到√a√b。想到共轭√a-√b。分母有根号优先考虑乘共轭。八、裂项必记看到1/[n(n1)]1/[n(n2)]1/[n(nk)]。优先考虑裂项。不要急着通分。九、连乘必记看到(1a)(1-a)。想到平方差。看到很多连续乘积。想到相消。本章我的易错点⭐⭐⭐⭐⭐□ 0是不是偶数。□ 自然数是否包含0。□ 1不是质数。□ 2唯一偶质数。□ 质因数分解没有按顺序试。□ 余数题没有先设未知数。□ 有理部分和无理部分没有拆开。□ 根式没有想到共轭。□ 连续求和没有想到裂项。□ 连续乘积没有想到相消。□ 高次根式没有想到配对。考前速记重点看这一页① 0是偶数。② 1不是质数也不是合数。③ 2是唯一偶质数。④ 自然数题先看看0算不算。⑤ 质因数分解先试2、3、5、7。⑥ 最大公约数取公共。⑦ 最小公倍数取全部。⑧ 余数题先设nakb。⑨ 有理部分和无理部分分别处理。⑩ 分母有根号先乘共轭。⑪ 连续求和先看裂项。⑫ 连续乘积先看相消。⑬ 高次根式先配对。⑭ 两数和为偶数同奇偶。⑮ 任意两数和为偶数整体同奇偶。⑯ 看到题目不要急着算先观察结构。第一轮学习总结通过第一轮学习本章主要涉及以下几个核心模型模型一奇偶分析。看到奇数、偶数、两数和、两数积优先分析奇偶性。模型二整除分析。看到倍数、整除优先利用整除特征。模型三质因数分解。按2、3、5、7……顺序尝试。模型四余数模型。先设nakb。模型五有理无理拆分。有理部分和无理部分分别处理。模型六根式共轭。分母有根号优先考虑共轭。模型七裂项相消。分母两个因子相差固定优先裂项。模型八连续乘积。先观察能否相消。本章给自己的提醒这部分题目大多数并不难。做错的主要原因不是不会而是没有第一时间识别题型。以后做题先观察再计算。看到熟悉结构立即联想到对应模型而不是拿到题目就开始算。