代数拓扑学习02-同调群计算步骤流程

文章目录0、背景1、原文0、背景原文来自公众号“拓扑漫游杠精”原文链接在这里欢迎关注点赞。之前学习代数拓扑了解到这里面最主要的就是持续同调计算。下面给出同调群计算的主要流程。1、原文代数拓扑的核心是将拓扑问题转化为代数问题计算最典型的标准计算流程以单纯同调为例以下为单纯同调标准计算流程一、‌空间剖分构建单纯复形‌将目标拓扑空间切割为不同维度的单纯形0维是点、1维是线段、2维是三角形……n维单纯形由n1个顶点构成凸包再按共享边界规则粘合得到单纯复形K并记录所有不同维度的单纯形。二、‌生成各维度链群‌对任意维度n nn以该维度下所有单纯形为基生成自由交换群C n ( K ) C_n(K)Cn​(K)称为‌n nn维链群‌群中元素为n nn维链本质是单纯形的整系数线性组合。三、‌定义边界算子‌对每个n维单纯形定义边界映射∂ n : C n ( K ) → C n − 1 ( K ) ∂n:C_n(K)→C_{n−1}(K)∂n:Cn​(K)→Cn−1​(K)将n维单纯形映射为其所有n − 1 n−1n−1维边界单纯形的交错和符号由顶点排列顺序决定方向。该算子天然满足∂ n ∘ ∂ ( n 1 ) 0 ∂n∘∂(n1)0∂n∘∂(n1)0即“边界的边界为空”。四、‌定义闭链群与边缘链群‌1、闭链群是边界算子的核Z n ( K ) k e r ∂ n c ∈ C n ( K ) ∣ ∂ n ( c ) 0 Z_n(K)ker \partial n{c∈C_n(K)∣ \partial n(c)0}Zn​(K)ker∂nc∈Cn​(K)∣∂n(c)0即边界为0 00的n nn维链每个非平凡闭链对应一个真实存在的n nn维“洞”。2、边缘链群是边界算子的像B n ( K ) i m ∂ ( n 1 ) ∂ ( n 1 ) ( c ) ∣ c ∈ C n 1 ( K ) B_n(K)im ∂(n1){∂(n1)(c)∣c∈C_{n1}(K)}Bn​(K)im∂(n1)∂(n1)(c)∣c∈Cn1​(K)本质对应已经被填满的“洞”不代表真实拓扑洞。3、由∂n∘∂n10可推得B n ( K ) ⊆ Z n ( K ) B_n(K)⊆Z_n(K)Bn​(K)⊆Zn​(K)因此可以构造商群得到同调群。五、‌计算同调群并解读拓扑信息‌n nn维同调群定义为商群H n ( K ) Z n ( K ) / B n ( K ) H_n(K)Z_n(K)/B_n(K)Hn​(K)Zn​(K)/Bn​(K)。其中同调群的秩就是‌n nn阶贝蒂数‌对应n nn维独立“洞”的数量挠部分对应带方向的特殊拓扑结构。六、‌推导最终拓扑结论‌基于同调群可得到明确拓扑性质例如1、欧拉特征数满足χ ∑ i 0 n ( − 1 ) i d i m H i ∑ i 0 n ( − i ) v i χ∑i0n(−1)idimHi∑i0n(−i)viχ∑i0n(−1)idimHi∑i0n(−i)vivi为i维单纯形个数可以用来验证两个空间是否同胚2、闭流形的最高维同调群如果同构于整数群则流形可定向否则不可定向。