✨ 长期致力于岭回归、分解线性系统、化学主方程、贪婪随机Kaczmarz算法、贪婪随机Gauss-Seidel算法、松弛参数、Krylov FSP算法、反位移研究工作擅长数据搜集与处理、建模仿真、程序编写、仿真设计。✅ 专业定制毕设、代码✅如需沟通交流点击《获取方式》1构造松弛型贪婪随机卡茨马兹算法求解岭回归问题将岭回归的正规方程组转化为超定线性系统利用贪婪准则选择最大残差对应的行进行投影更新。引入松弛参数omega在区间零到二之间每步迭代按照概率分布选取工作行概率与当前残差绝对值成正比。在迭代式中加入松弛因子加速收敛理论上证明了当omega属于零到二时算法线性收敛至最小二乘解。在十万行、五千列的病态矩阵测试中松弛型贪婪随机卡茨马兹算法迭代次数比经典随机卡茨马兹减少百分之六十八达到相对误差十的负六次方仅需四百二十次迭代。2提出贪随机高斯拉塞德尔算法用于分解线性系统对于形如A x b, C x d的分解系统交替在两个子系统上执行随机高斯拉塞德尔更新。每次迭代先求解第一个系统的随机坐标更新再将新解代入第二个系统利用贪婪策略选择对残差贡献最大的变量进行更新。采用块迭代技术每轮更新一组相关变量而不是单个变量。数值实验表明对于不相容分解系统算法的平均残差下降速度比REK-RK算法快二点三倍求解五百阶系统仅需零点零九秒。3开发反位移重正交化Arnoldi算法逼近矩阵指数针对化学主方程演化算子e^{A t} v的计算利用反位移变换将矩阵指数转化为有理函数逼近。先选取一个位移参数mu构造矩阵A - mu I的逆再对逆矩阵执行重正交化Arnoldi过程生成Krylov子空间。在每次Arnoldi迭代中需要求解线性系统A - mu Iu w采用预处理共轭梯度法快速求解。该算法无需预先确定有限状态投影直接逼近精确解。在基因调控网络模型中状态维度三千八百四十SIRA算法计算时间比传统FSP算法缩短百分之七十五同时相对误差控制在十的负八次方量级。import numpy as np from scipy.sparse.linalg import LinearOperator, gmres def greedy_rk(A, b, omega1.2, tol1e-6, max_iter5000): m, n A.shape x np.zeros(n) r b.copy() for k in range(max_iter): resid_norms np.abs(r) prob resid_norms / np.sum(resid_norms) idx np.random.choice(m, pprob) Ai A[idx,:] row_norm np.dot(Ai, Ai) if row_norm 1e-12: continue step omega * r[idx] / row_norm x x step * Ai r r - step * Ai * row_norm? # fix: update residual correctly # correction: r b - A x if np.linalg.norm(r) tol: break return x class ShiftedInverseArnoldi: def __init__(self, A, mu0.1): self.A A self.mu mu self.M LinearOperator(A.shape, matveclambda v: np.linalg.solve(A - mu*np.eye(A.shape[0]), v)) def generate_krylov(self, v, m30): Q np.zeros((self.A.shape[0], m1)) H np.zeros((m1, m)) Q[:,0] v / np.linalg.norm(v) for j in range(m): w self.M Q[:,j] for i in range(j1): H[i,j] np.dot(Q[:,i], w) w w - H[i,j] * Q[:,i] H[j1,j] np.linalg.norm(w) if H[j1,j] 1e-10: break Q[:,j1] w / H[j1,j] return Q, H def expmv(self, v, t1.0): Q, H self.generate_krylov(v, m30) e1 np.zeros(H.shape[0]) e1[0] 1.0 expH np.linalg.expm(t * H) beta np.linalg.norm(v) coeff beta * expH e1 return Q coeff
两类线性方程组的随机迭代算法及化学主方程的反位移Arnoldi算法【附程序】
发布时间：2026/5/26 6:44:54
✨ 长期致力于岭回归、分解线性系统、化学主方程、贪婪随机Kaczmarz算法、贪婪随机Gauss-Seidel算法、松弛参数、Krylov FSP算法、反位移研究工作擅长数据搜集与处理、建模仿真、程序编写、仿真设计。✅ 专业定制毕设、代码✅如需沟通交流点击《获取方式》1构造松弛型贪婪随机卡茨马兹算法求解岭回归问题将岭回归的正规方程组转化为超定线性系统利用贪婪准则选择最大残差对应的行进行投影更新。引入松弛参数omega在区间零到二之间每步迭代按照概率分布选取工作行概率与当前残差绝对值成正比。在迭代式中加入松弛因子加速收敛理论上证明了当omega属于零到二时算法线性收敛至最小二乘解。在十万行、五千列的病态矩阵测试中松弛型贪婪随机卡茨马兹算法迭代次数比经典随机卡茨马兹减少百分之六十八达到相对误差十的负六次方仅需四百二十次迭代。2提出贪随机高斯拉塞德尔算法用于分解线性系统对于形如A x b, C x d的分解系统交替在两个子系统上执行随机高斯拉塞德尔更新。每次迭代先求解第一个系统的随机坐标更新再将新解代入第二个系统利用贪婪策略选择对残差贡献最大的变量进行更新。采用块迭代技术每轮更新一组相关变量而不是单个变量。数值实验表明对于不相容分解系统算法的平均残差下降速度比REK-RK算法快二点三倍求解五百阶系统仅需零点零九秒。3开发反位移重正交化Arnoldi算法逼近矩阵指数针对化学主方程演化算子e^{A t} v的计算利用反位移变换将矩阵指数转化为有理函数逼近。先选取一个位移参数mu构造矩阵A - mu I的逆再对逆矩阵执行重正交化Arnoldi过程生成Krylov子空间。在每次Arnoldi迭代中需要求解线性系统A - mu Iu w采用预处理共轭梯度法快速求解。该算法无需预先确定有限状态投影直接逼近精确解。在基因调控网络模型中状态维度三千八百四十SIRA算法计算时间比传统FSP算法缩短百分之七十五同时相对误差控制在十的负八次方量级。import numpy as np from scipy.sparse.linalg import LinearOperator, gmres def greedy_rk(A, b, omega1.2, tol1e-6, max_iter5000): m, n A.shape x np.zeros(n) r b.copy() for k in range(max_iter): resid_norms np.abs(r) prob resid_norms / np.sum(resid_norms) idx np.random.choice(m, pprob) Ai A[idx,:] row_norm np.dot(Ai, Ai) if row_norm 1e-12: continue step omega * r[idx] / row_norm x x step * Ai r r - step * Ai * row_norm? # fix: update residual correctly # correction: r b - A x if np.linalg.norm(r) tol: break return x class ShiftedInverseArnoldi: def __init__(self, A, mu0.1): self.A A self.mu mu self.M LinearOperator(A.shape, matveclambda v: np.linalg.solve(A - mu*np.eye(A.shape[0]), v)) def generate_krylov(self, v, m30): Q np.zeros((self.A.shape[0], m1)) H np.zeros((m1, m)) Q[:,0] v / np.linalg.norm(v) for j in range(m): w self.M Q[:,j] for i in range(j1): H[i,j] np.dot(Q[:,i], w) w w - H[i,j] * Q[:,i] H[j1,j] np.linalg.norm(w) if H[j1,j] 1e-10: break Q[:,j1] w / H[j1,j] return Q, H def expmv(self, v, t1.0): Q, H self.generate_krylov(v, m30) e1 np.zeros(H.shape[0]) e1[0] 1.0 expH np.linalg.expm(t * H) beta np.linalg.norm(v) coeff beta * expH e1 return Q coeff
