泰勒级数，解释

原文towardsdatascience.com/the-taylor-series-explained-7e2c07c6808fhttps://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/8d636883a445ea25fce03febbba54cf9.png作者提供的图像如果你对泰勒级数感到愤怒对其无益感到惊讶好像它的存在唯一目的就是为我们创造需要解决的问题那么这篇文章可能就是为你而写的。简介序列和级数本节旨在回顾一些基本知识。首先是序列和级数的定义。有限级数是通过将有限序列的项相加得到的。但在实分析的情况下这些有限级数通常被忽略因为没有无限谈论收敛、收敛速度等就没有意义这在实分析中是基本的。在无穷级数的情况下有无限多个来自无尽序列的项。任何指定项的总和被称为部分和。[2]序列的概念相当简单它是一组按照特定模式排列的数字看起来像这样_a1_a2_a3…_an。但将其视为一个函数是有用的这给出了序列的正式定义一个序列是一个函数 f: ℕ → ℝ其中 ℕ 是非负整数集因此包括 0而 ℝ 是所有实数的集合。从以下看似简单的序列开始可能是个好主意这个序列将会被反复提及https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/10655f606cffefe7953a758da4c2544e.png(1.1)我们可以看到这是一个将整数映射到实数的函数https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/5e4a8922bb8b3478fad68028d28fe277.png但通常人们更喜欢用{an}来表示这个序列因为它们被认为是与函数不同类型的对象即一组值。[3] 此外{an}的符号类似于集合符号。因此 (1.1) 可以表示为https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/43a045a5c5ae489c2a391fa2238b7257.png(1.2)根据序列的定义我们可以定义之前提到过的部分和作为另一个序列给定一个序列 _{ak}可以通过 _{Sn} 定义一个新的序列其中 _S_na₁a₂…an。序列 _{Sn}被称为序列 _{ak}的部分和序列。部分和也可以紧凑地写成https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/82c27c40f0de8474b0e34f2c740ac2d9.png部分和。然后一个无穷级数是特定序列的极限而那个特定序列就是部分和序列。因此无穷序列是以下表达式https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/42c7963a15bf232406bea305d8e5b92b.png级数的收敛我们选择的例子属于几何级数它具有以下形式https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/18e0013bab569798f4c89e06bbebf24c.png2.1几何级数。每一项前面的系数是相同的常数k。前 n 项的部分和是证明省略因为它是技术性的并且对我们主题的洞察力不大https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/b7e2bdfc23537c0d035e2e84f1d67f6e.png2.2此外几何级数是具有以下形式的幂级数的特殊情况https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/dc3390fbc9c6a7c27f22d84f7523aa5f.png2.3其中 c 是幂级数的中心。重要的“中心”概念将在以后重新讨论。我们说一个级数收敛如果当N趋向于无穷大时_SN是有限的如果 _SN没有极限即当N趋向于无穷大时_SN的值“爆炸”则发散。选择示例1.1作为引入的原因之一是它“简单”从这种类型级数的行为可以很好地分类如果|r|1那么2.1收敛。否则2.1发散。对于幂级数2.3以下情况中恰好有一个是正确的存在一个唯一的正实数R使得当|r-c|R时2.3收敛而当|r-c|R时发散。只有当r c时级数才收敛。在这种情况下R 0。2.3对所有r∈ℝ收敛。在这种情况下R ∞。我们称这样的R为幂级数的收敛半径。它是收敛区间长度的一半。这意味着如果收敛半径是R那么以 c 为中心的级数在 r 位于以下开区间时收敛https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/ff95f59ff0af83419c91aae1c90acaa0.png前一句中的“开”被强调因为级数在端点的行为是未知的需要专门检查。我们可以看到如果我们把r1/2和a1代入2.2那么我们就有1.2的项的部分和https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/bc5c464381812e783421bf8b15dc901b.png当n趋向于无穷大时https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/a1f13d914d8f225f005391f863b81075.png虽然评估无限多个项的和似乎是不可能的任务但我们做到了甚至得到了一个常数当研究一个级数时需要了解的两个基本问题是(1)它是否收敛以及(2)它在什么值下收敛下一节将讨论这个问题。确定收敛区间现在我们来回答这些问题。为了确定一个级数是收敛还是发散我们可以根据级数的不同使用很多测试。这里最重要的测试是比值测试因为它也用于找到收敛区间。为了使这篇帖子不要太长我们只介绍这一个设https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/d123eedd5f62bd68dacc82003adbbcab.png3.3是一个无穷级数。设https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/67c92428b6dc076d2dbe9b7b0b457aba.png然后存在三种情况如果 0 ≤ L 1那么3.3绝对收敛。如果 L 1那么3.3发散。如果 L 1根号什么也没说。因此为了找到(2.3)的收敛区间我们对它进行比值测试得到https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/fd5996110ec282e27fd93bd1ed43f4e8.png(3.4)根据我们之前讨论的我们想要找到满足(3.4) 1 的x的值。这可以通过一个例子[6]简单地证明找到以下函数的收敛半径和收敛区间https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/3371d2d277b0e1fc940ab823d17a50a0.png(3.5)进行比值测试得到https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/ade6dd4ef97d0763e52e762917f506d5.png因此收敛区间由解3|x| 1给出即https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/a4d6d0851c5994562d9f6b8124237055.png收敛半径是收敛区间的长度的一半即1/3。我们仍然不知道级数在端点上的行为所以让我们检查一下将*-1/3*代入(3.5)得到https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/e7c164f64340bd13263d325c8d5c099f.png这是一个发散的p 级数证明省略因为它可以轻易找到)). 因此端点*-1/3*不被包含。将另一个端点1/3代入(3.5)得到https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/976b3e260fc6f234103e73fdb4ccd096.png这是一个交错 p 级数它是收敛的证明省略。因此端点1/3被包含在内。总之(3.5)的收敛区间是https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/a6caad4dddac32e13efb39c90f1246f5.png泰勒级数的简单推导更一般地我们可以用相同的方法从(2.2)推导出 _Sn由一个封闭形式给出https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/ed80ff6668224ef88fe9aa59ca31db77.png如果你将比值r视为一个变量并将其写成函数https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/729b01ef465999ec1e5a06e5fb985975.png(4.1)这使我们有了新的见解即函数(4.1)可以表示为幂级数。请注意从现在开始我们将改变符号r变为x中心c变为 _x0*因为现在上下文切换到使用级数表示函数。这引发了一个重要的问题使我们更接近泰勒级数那么其他函数呢所有的函数都能用幂级数表示吗答案几乎是肯定的。许多函数可以用这种方式表示但并非所有函数都可以。即使一个函数在某个点上有泰勒展开泰勒级数也可能毫无用处并且不收敛到该函数。从现在开始我们将考察来自[5]的两条关于使用幂级数表示函数的定理。这两个定理将帮助我们揭示泰勒级数的秘密。第一个是关于转换到新中心的定理。设https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/9fc062e9e982f1da22bcb460dd3437a6.png(4.2)是一个具有正半径 R 的幂级数。如果*|x-x0| R*则由该级数表示的函数*f(x)*也可以展开成幂级数https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/975932be96a40d80ca5ed846718a402e.png(4.3)在 _x0的邻域内。每个系数 _bn都由绝对收敛级数表示https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/0fbe6df65317bc41a6257e688d6f89be.png(4.4)这是一个具有精确半径R的幂级数。此外(4.3)的半径 _R1至少是 _R-|x0|。我们可以看到(4.3)是通过将(4.2)表示的幂级数的中心向右移动 _x0得到的。根据这个定理在中心移动后新的级数有不同的系数这些系数在(4.4)中描述。但收敛半径保持不变。这个中心变换定理可以通过反证法证明它有些长我们在这里省略。我们将只展示为什么(4.4)是这样的。在我们开始之前让我们看一下二项式定理它将被用来获得(4.4)设 n 为正整数x 和 y 为实数。在*(xy)^n*展开的 k 项中x^k ∙ y^(n-k)的系数等于 n 选 k这意味着https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/6796edebe526739ac2b9c688bcbbdeb4.png二项式定理诀窍是将(4.2)重写为https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/e00a25e983844d4198316e7215a634eb.png(4.5)然后我们可以在(4.5)上简单地应用二项式定理这给我们https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/162d3ac05e30ef5835140c0a3fb9933c.png其中标记为蓝色的级数正是从不同索引开始的(4.4)。求和的顺序被交换了。第二个定理是关于由幂级数表示的函数的可导性性质一个由幂级数表示的函数比如说https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/ddd483ea5dd7eb3270a0e0aa31e7482a.png(4.6)在其收敛半径的每一个内点| r |R 处可以任意多次可导并且可以通过逐项微分来获得其导数。使用这个定理我们可以逐项对(4.6)求导并通过将索引移动1来得到https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/317f0ae2e3414c17169ff8ca50189571.png(4.7)然后我们对(4.7)再次进行求导这给出了https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/cfa07f36f45a9e907715ca2280dec94c.png这可以写成https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/056ce59e513727f7a92fa6756df4bba6.png因为二项式系数定义为https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/ef4da7bcb3c44d992481bb1b7851a1be.png(来自维基百科的图片)因此https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/f0ddba801decffe147c4487ef57ee76c.png这样做 n 次从而得到https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/bc40ffc06bc8964eb988235eeeda6a76.png将x0代入我们可以直接得到https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/e13e09d0d95815d7fdd02a4778cbd90b.png(4.8)这将是泰勒级数的系数。现在我们可以将(4.8)代入(4.2)得到*f(x)*的以下表示https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/f58e5bf3a6b1e9cdb7db0d29d036b5b9.png(4.9)对于不围绕04.3的更一般情况f(x)表示为https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/b9bda2b9b81d0876d7b83bc41cdee9ff.png(4.10)这里就是了(4.10)是泰勒级数或泰勒展开这些术语在本帖中可以互换使用。而(4.9)被称为泰勒级数的麦克劳林形式。“中心”的含义我们已经讨论了很多关于泰勒级数形式的内容但“以某点为中心”的级数意味着什么以及其背后的直觉是什么这对于理解泰勒级数如何用于逼近函数是至关重要的但这一点尚未解释清楚。因此我们将在这里探讨这个问题。用于展示不同中心泰勒级数的例子再次是(4.1)https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/336108494a04e63af9b6b9570598bd8a.png(5.1)首先我们需要将(5.1)写成以不同点为中心的级数比如说1/2这意味着我们需要找到一个新级数其系数为 b_n使得https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/68c941a00ce28903e0a22bfceac08ff9.png我们之前已经看到简单的替换不会给我们带来不同中心的级数——所有系数都需要改变。在这个例子中我们可以这样做即把(5.1)转换成一个方便的形式这样我们就可以直接写出泰勒级数https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/9b987bb26394b32fa8fcea3f44ec694c.png为了更好地理解这一点这里是泰勒级数前 5 阶的可视化我们可以从图中看出它们是完全不同的两个级数脚本可以在这里找到https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/b60ff3d96cb346b1307e42a8770dd9cd.png以 0 为中心的 1/(1-x)的泰勒级数。(图片由作者提供)https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/614ffc24c402174abafd4fbc530491d6.png以 1/2 为中心的 1/(1-x)的泰勒级数。(图片由作者提供)此外从这个例子中我们可以直观地理解“局部”和“邻域”的含义当级数从中心远离时它就不再接近原始函数。注意当 _xx_0时级数中的所有项除了第一项f(x)(k0)都变为0*(对于 k1, 2, 3, …)。因此当 xx_0 时其值正好是f(x)。我们需要记住的另一个重要事实是在中心移动之后收敛半径和区间会发生变化。从中心变换的定理中我们知道新的半径至少是https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/4a50606edae36f3f63492c95d411dc4a.png泰勒级数的误差界限让我们来看看泰勒定理其中提到了误差界限余项如果函数f:(a,b) → ℝ在区间(a, b)上是n1次可微的且ab对于每一个axb存在ξ∈(c,x)使得https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/4b21c6b2511e0339b058cea1dfe8ddc7.png(6.0)其中https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/f2c0d6d331057c04087f9c7d8bda4a8d.png(6.1)并且ξ是x和c之间的任意一点ξ可以是x或c但不一定是这不是一个打字错误如果它是一个打字错误“ξ” 就会过于夸张*.* 在 (6.0) 的最后一项_Rn(x)是f(x)近似误差。这里是证明为了清楚地说明为什么误差具有与(n1)-th阶导数相同的格式以及为什么函数f^(n1)的参数是ξ而不是c。证明反复使用了 罗尔定理它是平均值定理的一个特例为了证明泰勒级数近似的误差界是 (6.1)我们想要证明https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/7cb94d8e3c96306096b46ad940dd0f89.png(6.2)其中s和 _x0是上述区间 (a, b) 上的任意两个不同点。让我们定义以下辅助函数这仅仅是 (6.2) 的左边减去 (6.2) 的右边https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/5ae494236026edc6a99f86f830073a1f.png(6.3)其中k是使F(s) 0的值。目标是证明https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/5e9b693f7501ce144c174ea275bb68b4.png(6.4)由于 _F(x0) 0罗尔定理意味着在 _x0和s之间存在一个严格介于两者之间的 _x1使得 _F’(x1)0。很容易看出 _F’(x0)0所以我们再次使用罗尔定理它意味着在 _x0和 _x1之间存在一个严格介于两者之间的 _x2使得 _F”(x2)0。继续这个论证我们可以得到在 _x0和 _xn之间的x(n1)使得https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/ac2ca7f5eceb5921ffb67107b51f0dfb.png(6.5)也对 (6.3) 进行 n1 次求导给出https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/61da808048bb33f4fcbc95f8b553002f.png(6.7)因为低于n阶的多项式在求导超过 n 次后变为0。所以结合 (6.6) 和 (6.7)我们得到 (6.4)。这告诉我们n阶泰勒级数的余项具有与n1阶项相同的格式。但是函数的参数是未知的我们只知道它是在x和 _x0之间的任意一点。解析函数的定义在这一点自然会产生另一个问题函数何时等于其泰勒级数简单的答案是在所有余项 R_n 趋于 0 的点 x当 n 趋于无穷大时。为了更实际一些以下定理给出了 R_n 的一个有用的界限如果https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/c8d181d59f3dd1c7994ed22366266f6d.png对于所有在区间 _[x_0-d, x0d]内的x泰勒级数收敛到f并且余项满足不等式https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/a522777b292f05e4f9e52ced2115d694.png对于所有在 _[x_0-d, x0d]区间内的x。当一个函数是这样的即局部上等于其泰勒级数时它是解析的。函数的解析性有两个等价定义I. 如果函数 f 在点 _x0∈ℂℂ是所有复数的集合处可微那么我们称 f 在点 _x0处解析。请注意解析性始终是函数在开集点周围的邻域上的一个属性。不必太担心ℂ在这篇文章中我们只处理实数但它们都是复数。重要的是要注意解析性总是函数在开集上的一个属性。II. 如果函数 f 在点 _x0处解析那么其以 x_0 为中心的泰勒级数对于所有足够接近 _x0的点 x 都收敛到f(x)。这两个定义是等价的尽管乍一看并不明显。证明通常可以在关于复变函数学的教科书中找到。这里我们省略了它。另一个重要的事实是解析性意味着可微性但反之则不然。换句话说任何在点 x 处无限可微的函数在该点都有一个泰勒级数。但是那个泰勒级数是否在 x 的任意邻近点收敛是另一个问题。一个很好的病理学例子来展示这一点是围绕 0 的函数https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/e814787bb125a1bb1fba90c5f938bf1d.png(7.2)函数在点0处连续且无限可微但在点x0处不是解析的因为(7.2)的所有导数在x0处都是0。因此如图所示泰勒级数在点x0处收敛到常数函数f(x)0而不是(7.2)。https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/42d48227b7e56f7786387d04f72bf10c.png一个数值例子一个更实际的问题我们可以使用泰勒级数来解决比如求8(1/3)*的近似值这是一个数值近似。我们可以将其视为函数*x(1/3)上的一个点并计算以8为中心的该函数的泰勒级数。[7]这里我们使用前三项2 阶。由于我们想要近似f(8.1)的值显然我们应该设置x 8.1我们知道8^(1/3) 2所以 2 是一个非常方便的邻近点。这使得 _x0 2即我们的泰勒级数是以2为中心的。计算导数给出https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/5a52408e0d7b23bb83826279f13cc0ea.png(8.1)将值代入https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/4815c30159ee8d1e03a8f9b2a2171b6e.png这的结果大约是2.0082986111我们保留到小数点后第 10 位。然后我们计算余项 _R3https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/0804ff7b7fa5d811df8f9c7bf900b8e0.png将已知值代入我们得到https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/c4bdbdbd8752d46aca91387bb82d19ef.png(8.2)我们想要找到(8.2)的上界。参考我们之前计算的(8.1)我们可以看到(8.2)在区间*[8, 8.1]*上是单调递增的函数因此上界应该是https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/f27d46b04e359208f0e5e7bda21803b0.png难受的是我们还需要再次评估8.1^(1/3)但我们知道8.1^(1/3)并不远离8^(1/3)后者是2。所以在这种情况下我们可以尝试计算余项下限 _R3它是https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/bc5ccf5f8bc88a841f5de23447b5f587.png这大约是0.00000002411第 11 位小数。如果我们直接使用计算器计算 8^(1/3)我们得到大约2.0082988502。我们的近似值与计算器给出的值之间的差异大约是 0.00000002391我们可以看到0.000000023910.00000002411。在这里我们很幸运__ 误差被余项所限制实际上甚至是余项的下限。其他应用案例除了近似函数值我们还可以使用泰勒级数在要积分的函数难以处理即非初等函数时进行积分并求解微分方程。[6]最后但同样重要的是泰勒级数在离散数学中也起着重要作用。生成函数可以将离散问题转化为连续问题。一个具体的例子是找到一个概率质量/密度函数的矩生成函数简称 MGF。结论在这篇帖子中我们简要回顾了基础知识如数列和级数的定义以及级数的收敛性。然后我们从动机开始——使用幂级数表示函数。利用可以用幂级数表示的函数的性质我们展示了泰勒级数的一个简单推导。在泰勒级数被公式化之后提出了“解析性”的概念。最后通过一个数值例子来说明泰勒级数如何用于局部近似函数以及界定误差。参考文献:[1] Ribet, K. 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