原文towardsdatascience.com/the-math-behind-risk-part-1-35ed4e1f542d?sourcecollection_archive---------8-----------------------#2024-06-28在世界征服游戏中进攻方真的有优势吗https://medium.com/menachemrose1?sourcepost_page---byline--35ed4e1f542d--------------------------------https://towardsdatascience.com/?sourcepost_page---byline--35ed4e1f542d-------------------------------- Menachem Rose·发布于Towards Data Science ·阅读时间 10 分钟·2024 年 6 月 28 日–我的一个好朋友嘿Aron最近问我在棋盘游戏《风险》中进攻和防守的概率是多少。我知道亚历山大大帝和成吉思汗的征服不能完全通过《风险》的机制来解释但这个问题依然很有趣而且它很好地展示了概率和数据可视化在智能决策中的应用和作用。https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/fa223c0e07d56e9fb826498f0741e1fd.png图片由Dave Photoz提供发布于Unsplash对于那些不知道的人来说《风险》是一款世界征服棋盘游戏进攻方最多可以掷三个骰子防守方最多掷两个骰子。双方中掷出最大点数较低的一方失去一名士兵若点数相同则由防守方获胜。我们称之为第一次战斗。如果双方都掷至少两个骰子那么第二高点数较低的一方也会失去一名士兵再次平局由防守方获得胜利。我们称之为第二次战斗。当然掷 3 个骰子显然比掷 2 个骰子有优势而平局时获胜的有利条件也同样显而易见。但不那么明显的是这些优势是如何相互叠加的。这里你可以找到我确认以下概率的代码。在分析防守和进攻的相对概率之前我们先分别分析它们。防御者的回合较为简单因为他只掷了两个骰子因此我们从这里开始。共有 11 种排列可以得到最高投掷为 6。我们可以通过考虑所有可能性来计算{(1,6), (2,6), (3,6), (4,6), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}。按类似的逻辑最高投掷为 5、4、3、2 或 1 的排列数分别为 9、7、5、3 和 1。由于两个骰子的所有排列共有 6 x 6 36 种我们只需将每个排列数除以 6² 36 即可得到概率。此计算将给出每个数值作为防御骰子的最高投掷的概率。以下图形应会有所帮助。请注意在所有图形中红色表示攻击蓝色表示防御符合《风险》游戏的配色方案。https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/8b4895c8144dd44387830a3d533a8a8e.png表 1 — 最高防御投掷的概率图片来源作者https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/4c8b614775bf468cb84e0888beb43963.png图表 1 — 最高防御投掷的概率图片来源作者攻击者的最高投掷稍微复杂一些因为他掷了 3 个骰子。为了计算得到最高投掷为 6 的排列数我们可以首先固定最高投掷为 6并假设它出现在骰子 1 上。显然骰子 2 和骰子 3 可以是任何 1 到 6 之间的数总共有 6*6 36 种结果。如果接下来我们将最高结果 6 固定在骰子 2 上我们必须限制骰子 1 不得为 6因为我们已经考虑过这个情况。骰子 3 可以是任何数总共有 6x530 种额外结果。最后我们可以将最高结果 6 固定在骰子 3 上并且我们知道骰子 1 和骰子 2 的结果不能为 6因为这些情况已经被计入。因此我们得到 25 种额外结果总共有 363025 91 种可能性。https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/5ab246e9a0bbb96290758a927054597f.png表 2 — 最高攻击投掷的概率图片来源作者我们可以将此推广以计算得到最高投掷结果为 x 的可能结果数。如果最高投掷发生在骰子 1 上第二个和第三个骰子可以取任何结果最大值为 x总共有 x² 种结果。如果最高投掷发生在骰子 2 上骰子 1 的结果可以是 1 到 x-1 之间的任意数因为我们已经考虑了骰子 1 为 x 的情况而第三个骰子可以取 1 到 x 之间的任何值总共有 x(x-1)x²-x 种额外结果。最后我们考虑骰子 3 取值为 x 的情况。此时唯一尚未计入的选项是骰子 1 和骰子 2 的结果各自取值为 1 到 x-1 之间的任意数结果数为 (x-1)*(x-1) x²–2x1。将所有结果加在一起我们得到共有 3x²–3x1 种方式可以得到最高投掷为 x 的结果。https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/6e443920c2e06f21ad2311ce4c5f0f29.png图表 2 — 最高攻击投掷的概率图片来源作者请注意总排列数为 216正如预期的那样因为 6³ 216这也让我们更有信心认为这些计算是正确的。接下来让我们直接比较进攻方和防守方的机会。https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/e9bb3b37d9ba6d9029401526e7f9a01c.png图表 3 — 最高点数的概率图片由作者提供我们可以看到防守方掷出 1、2、3 和 4 作为最高点数的概率高于进攻方而进攻方掷出 5 或 6 作为最高点数的概率则高于防守方。这是第三颗骰子对进攻方有利的体现。不再拖延我们开始进入战斗部分。我们必须分别考虑这两场战斗。在第一部分中我们将分析第一场战斗即谁将赢得最高点数的掷骰结果而第二场战斗即谁将赢得第二高点数的掷骰结果则留待第二部分分析。为了计算进攻方获胜的最高点数的概率我们将首先计算防守方掷出最高点数为 x 的排列并计算这些排列中有多少会导致防守方直接获胜、平局由防守方获胜或进攻方获胜。我们还需要记住考虑到进攻和防守的骰子一共可以有 6⁵ 7776 种排列方式。这是因为共有 5 颗骰子每颗骰子可以掷出 6 个不同的点数。例如正如上面计算的那样防守方的最高点数为 5 的概率为 9/36而总共有 6⁵ 7776 种排列方式显然9/36 * 7776 1944 种排列将导致防守方的最高点数为 5。为了获胜进攻方需要掷出最高点数为 6正如上面计算的那样其概率为 91/216因此91/216 * 1944 819 种排列将导致防守方的最高点数为 5并且进攻方获胜。为了平局进攻方必须掷出最高点数为 5其概率为 61/216因此61/216 * 1944 549 种排列将导致平局剩余的排列1944–819–549 576将导致防守方直接获胜。我们可以对防守方的所有可能结果进行类似的计算。见下表。https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/9d24ca23d3a0ecc0548ce64fca432b43.png表 3 — 获胜排列图片由作者提供然后我们可以通过将产生所选结果例如进攻方获胜的排列数除以更广泛的结果组例如防守方掷出最高点数为 5的排列数来计算防守方胜利、平局和进攻方胜利的条件²概率。https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/4d7aaed1bec0deb15232d0224d8dda5d.png表 4 — 条件概率图片由作者提供我们还可以将条件概率可视化。https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/04b472d284e505b6c24d567a1cacc1b2.png图表 4 — 条件概率图片由作者提供图表 4 给出了许多人最初的错误印象即攻击方总体上有很大优势。但这是因为它忽略了最高防守掷骰本身的概率。实际上高掷骰比低掷骰的可能性要大得多正如表 3 所示。因此总概率是一个更有效的衡量标准。总概率指的是整个结果的概率独立于任何条件。例如攻击方击败最高防守掷骰为 4 的总概率为 13.68%见表 5。这个相对较低的数字是合理的因为最高防守掷骰为 4 的情况本身就很不可能发生19.4% — 见表 1。在条件概率中假设最高防守掷骰已经是 4攻击方获胜的概率就要高得多70.37% — 见表 4因为在此计算中我们已经假定了最高防守掷骰是 4而最初发生这种情况的概率则不再重要。计算每种结果的总概率更为简单。我们只需要将每个排列的数量除以所有可能排列的总数即 7776。https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/0269e01f2eb370bd9da9d4536927810d.png表 5 — 胜利总概率图示由作者提供然后我们可以计算攻击获胜的所有排列总数3667并将其除以总的可能排列数7776得到攻击方的胜率为 47.15%。下方是按最高防守掷骰计算的总胜率图表。为了简便起见我们将平局视为防守方的胜利。https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/f07af0f48db0f8fb64852fb05bb3c151.png图表 5 — 防守掷骰的总胜率图示由作者提供最后我们将计算防守和攻击方每个可能的最高掷骰的联合³概率。由于攻击和防守的最高掷骰是独立的我们可以简单地将两者的概率相乘得到联合概率。请注意下方的两幅图中红色表示攻击获胜蓝色表示防守获胜浅蓝色表示平局平局判定为防守方获胜。https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/3e149d0d26d031b66dd6fea2c441b0e9.png表 6 — 联合概率图示由作者提供我们还可以通过图形方式直观展示这些数据。请注意下方图表中坐标轴的配置已优化为最大程度显示数据。https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/ec7bf25880d43a5039fcf11846f30374.png图表 6 — 联合概率图示由作者提供结论攻击获胜的概率为 47.15%。这一点可以在表 5 中清楚看到。我们将在脚注⁴中详细解释数学推导。防守完全获胜的概率为 28.07%。这一点可以在表 5 中清楚看到。平局的概率当然是判定为防守方获胜的概率为 24.77%。这一点可以在表 5 中清楚看到。如果防守方的最高点数是 4他/她只有 29.63%的机会获胜。这一点可以通过对表 6 中第 4 行的防守胜利概率求和并除以该行总和来计算。为了让防守方有比攻击方更大的获胜几率他/她需要掷出最高点数 6。这一点可以在表 3 和表 4 的第 5 行和第 6 行中看到。最可能的整体结果是攻击方和防守方都掷出了最高点数 6这种情况的概率为 12.87%从而防守方获得胜利。这一点在表 6 中可以清楚地看到。在所有攻击方获胜的情况下最常见的方式是防守方掷出了最高点数 4。这种情况占据了攻击方获胜的 29.02%。这一点可以通过观察表 5 中防守点数为 4 时攻击方的百分比并除以该列总和来计算。仅有 5.86%的攻击胜利发生在防守方的最高点数为 1 的情况下。这里的微妙之处甚至可以说是几乎是矛盾的观点是如果防守方的最高点数是 1你几乎可以肯定99.54%攻击方会获胜但如果攻击方获胜你仍然可以有信心94.14%防守方没有掷出最高点数 1尽管坦率地说和你在得知攻击方获胜之前的信心97.2%相比信心略有降低。概率真是太神奇了。第一个数字可以从表 5 中计算得出。第二个数字直接来自表 4。第三个是第一个的补集第四个可以从表 1 中计算得出。因此攻击方在第一次战斗中实际上处于不利地位。那么成吉思汗是如何在战争中如此有效地击败敌人的呢也许这预示着第二场战斗中等待我们的是更微妙的情况。或者这也可能说明《风险》游戏未能有效地解释历史上最伟大的征服。或者也许更让人兴奋的是两者兼有第二部分见。对于有数学背景的人来说这似乎表明对于所有小于或等于 k 的 x3x²-3x1 的和等于 k³以满足显然的要求即对所有 x小于等于 k求和得到的排列数其最大值等于 3 个骰子所能产生的 k 个替代方案的总数。实际上通过归纳法可以简单证明这一点。显然对于基本情况 x1 是成立的因为 3(1)²-3(1)1 1³。然后我们必须证明对于所有小于或等于 k 的 x3x²-3x1 的和等于 k³前提是已知所有小于或等于 k-1 的 x3x²-3x1 的和等于(k-1)³。因为(k-1)³ k³-3k²3k-1显然加上 3k²-3k1 后结果将是 k³。QED。条件概率意味着给定某种条件下的概率。例如如果防守方掷出了最高点数 6则攻击方的胜利条件概率为 0%因为在这种情况下他无法获胜。但这仅仅是如果防守方掷出了最高点数 6。联合概率仅仅意味着两个事件同时发生的概率。为了使数学公式形式化我们需要一些符号。设 A₁ 和 D₁ 分别表示攻击和防御的最高掷骰点数。此外设 d 表示防御可能的最高掷骰点数显然它可以取从 1 到 6 之间的任何值。那么攻击方获胜的概率可以通过计算以下求和公式来得出https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/0d884e7a967e6316785c405e30661ae7.png数学公式图像由作者提供
风险游戏背后的数学 — 第一部分
发布时间：2026/5/18 12:38:19
原文towardsdatascience.com/the-math-behind-risk-part-1-35ed4e1f542d?sourcecollection_archive---------8-----------------------#2024-06-28在世界征服游戏中进攻方真的有优势吗https://medium.com/menachemrose1?sourcepost_page---byline--35ed4e1f542d--------------------------------https://towardsdatascience.com/?sourcepost_page---byline--35ed4e1f542d-------------------------------- Menachem Rose·发布于Towards Data Science ·阅读时间 10 分钟·2024 年 6 月 28 日–我的一个好朋友嘿Aron最近问我在棋盘游戏《风险》中进攻和防守的概率是多少。我知道亚历山大大帝和成吉思汗的征服不能完全通过《风险》的机制来解释但这个问题依然很有趣而且它很好地展示了概率和数据可视化在智能决策中的应用和作用。https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/fa223c0e07d56e9fb826498f0741e1fd.png图片由Dave Photoz提供发布于Unsplash对于那些不知道的人来说《风险》是一款世界征服棋盘游戏进攻方最多可以掷三个骰子防守方最多掷两个骰子。双方中掷出最大点数较低的一方失去一名士兵若点数相同则由防守方获胜。我们称之为第一次战斗。如果双方都掷至少两个骰子那么第二高点数较低的一方也会失去一名士兵再次平局由防守方获得胜利。我们称之为第二次战斗。当然掷 3 个骰子显然比掷 2 个骰子有优势而平局时获胜的有利条件也同样显而易见。但不那么明显的是这些优势是如何相互叠加的。这里你可以找到我确认以下概率的代码。在分析防守和进攻的相对概率之前我们先分别分析它们。防御者的回合较为简单因为他只掷了两个骰子因此我们从这里开始。共有 11 种排列可以得到最高投掷为 6。我们可以通过考虑所有可能性来计算{(1,6), (2,6), (3,6), (4,6), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}。按类似的逻辑最高投掷为 5、4、3、2 或 1 的排列数分别为 9、7、5、3 和 1。由于两个骰子的所有排列共有 6 x 6 36 种我们只需将每个排列数除以 6² 36 即可得到概率。此计算将给出每个数值作为防御骰子的最高投掷的概率。以下图形应会有所帮助。请注意在所有图形中红色表示攻击蓝色表示防御符合《风险》游戏的配色方案。https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/8b4895c8144dd44387830a3d533a8a8e.png表 1 — 最高防御投掷的概率图片来源作者https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/4c8b614775bf468cb84e0888beb43963.png图表 1 — 最高防御投掷的概率图片来源作者攻击者的最高投掷稍微复杂一些因为他掷了 3 个骰子。为了计算得到最高投掷为 6 的排列数我们可以首先固定最高投掷为 6并假设它出现在骰子 1 上。显然骰子 2 和骰子 3 可以是任何 1 到 6 之间的数总共有 6*6 36 种结果。如果接下来我们将最高结果 6 固定在骰子 2 上我们必须限制骰子 1 不得为 6因为我们已经考虑过这个情况。骰子 3 可以是任何数总共有 6x530 种额外结果。最后我们可以将最高结果 6 固定在骰子 3 上并且我们知道骰子 1 和骰子 2 的结果不能为 6因为这些情况已经被计入。因此我们得到 25 种额外结果总共有 363025 91 种可能性。https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/5ab246e9a0bbb96290758a927054597f.png表 2 — 最高攻击投掷的概率图片来源作者我们可以将此推广以计算得到最高投掷结果为 x 的可能结果数。如果最高投掷发生在骰子 1 上第二个和第三个骰子可以取任何结果最大值为 x总共有 x² 种结果。如果最高投掷发生在骰子 2 上骰子 1 的结果可以是 1 到 x-1 之间的任意数因为我们已经考虑了骰子 1 为 x 的情况而第三个骰子可以取 1 到 x 之间的任何值总共有 x(x-1)x²-x 种额外结果。最后我们考虑骰子 3 取值为 x 的情况。此时唯一尚未计入的选项是骰子 1 和骰子 2 的结果各自取值为 1 到 x-1 之间的任意数结果数为 (x-1)*(x-1) x²–2x1。将所有结果加在一起我们得到共有 3x²–3x1 种方式可以得到最高投掷为 x 的结果。https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/6e443920c2e06f21ad2311ce4c5f0f29.png图表 2 — 最高攻击投掷的概率图片来源作者请注意总排列数为 216正如预期的那样因为 6³ 216这也让我们更有信心认为这些计算是正确的。接下来让我们直接比较进攻方和防守方的机会。https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/e9bb3b37d9ba6d9029401526e7f9a01c.png图表 3 — 最高点数的概率图片由作者提供我们可以看到防守方掷出 1、2、3 和 4 作为最高点数的概率高于进攻方而进攻方掷出 5 或 6 作为最高点数的概率则高于防守方。这是第三颗骰子对进攻方有利的体现。不再拖延我们开始进入战斗部分。我们必须分别考虑这两场战斗。在第一部分中我们将分析第一场战斗即谁将赢得最高点数的掷骰结果而第二场战斗即谁将赢得第二高点数的掷骰结果则留待第二部分分析。为了计算进攻方获胜的最高点数的概率我们将首先计算防守方掷出最高点数为 x 的排列并计算这些排列中有多少会导致防守方直接获胜、平局由防守方获胜或进攻方获胜。我们还需要记住考虑到进攻和防守的骰子一共可以有 6⁵ 7776 种排列方式。这是因为共有 5 颗骰子每颗骰子可以掷出 6 个不同的点数。例如正如上面计算的那样防守方的最高点数为 5 的概率为 9/36而总共有 6⁵ 7776 种排列方式显然9/36 * 7776 1944 种排列将导致防守方的最高点数为 5。为了获胜进攻方需要掷出最高点数为 6正如上面计算的那样其概率为 91/216因此91/216 * 1944 819 种排列将导致防守方的最高点数为 5并且进攻方获胜。为了平局进攻方必须掷出最高点数为 5其概率为 61/216因此61/216 * 1944 549 种排列将导致平局剩余的排列1944–819–549 576将导致防守方直接获胜。我们可以对防守方的所有可能结果进行类似的计算。见下表。https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/9d24ca23d3a0ecc0548ce64fca432b43.png表 3 — 获胜排列图片由作者提供然后我们可以通过将产生所选结果例如进攻方获胜的排列数除以更广泛的结果组例如防守方掷出最高点数为 5的排列数来计算防守方胜利、平局和进攻方胜利的条件²概率。https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/4d7aaed1bec0deb15232d0224d8dda5d.png表 4 — 条件概率图片由作者提供我们还可以将条件概率可视化。https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/04b472d284e505b6c24d567a1cacc1b2.png图表 4 — 条件概率图片由作者提供图表 4 给出了许多人最初的错误印象即攻击方总体上有很大优势。但这是因为它忽略了最高防守掷骰本身的概率。实际上高掷骰比低掷骰的可能性要大得多正如表 3 所示。因此总概率是一个更有效的衡量标准。总概率指的是整个结果的概率独立于任何条件。例如攻击方击败最高防守掷骰为 4 的总概率为 13.68%见表 5。这个相对较低的数字是合理的因为最高防守掷骰为 4 的情况本身就很不可能发生19.4% — 见表 1。在条件概率中假设最高防守掷骰已经是 4攻击方获胜的概率就要高得多70.37% — 见表 4因为在此计算中我们已经假定了最高防守掷骰是 4而最初发生这种情况的概率则不再重要。计算每种结果的总概率更为简单。我们只需要将每个排列的数量除以所有可能排列的总数即 7776。https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/0269e01f2eb370bd9da9d4536927810d.png表 5 — 胜利总概率图示由作者提供然后我们可以计算攻击获胜的所有排列总数3667并将其除以总的可能排列数7776得到攻击方的胜率为 47.15%。下方是按最高防守掷骰计算的总胜率图表。为了简便起见我们将平局视为防守方的胜利。https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/f07af0f48db0f8fb64852fb05bb3c151.png图表 5 — 防守掷骰的总胜率图示由作者提供最后我们将计算防守和攻击方每个可能的最高掷骰的联合³概率。由于攻击和防守的最高掷骰是独立的我们可以简单地将两者的概率相乘得到联合概率。请注意下方的两幅图中红色表示攻击获胜蓝色表示防守获胜浅蓝色表示平局平局判定为防守方获胜。https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/3e149d0d26d031b66dd6fea2c441b0e9.png表 6 — 联合概率图示由作者提供我们还可以通过图形方式直观展示这些数据。请注意下方图表中坐标轴的配置已优化为最大程度显示数据。https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/ec7bf25880d43a5039fcf11846f30374.png图表 6 — 联合概率图示由作者提供结论攻击获胜的概率为 47.15%。这一点可以在表 5 中清楚看到。我们将在脚注⁴中详细解释数学推导。防守完全获胜的概率为 28.07%。这一点可以在表 5 中清楚看到。平局的概率当然是判定为防守方获胜的概率为 24.77%。这一点可以在表 5 中清楚看到。如果防守方的最高点数是 4他/她只有 29.63%的机会获胜。这一点可以通过对表 6 中第 4 行的防守胜利概率求和并除以该行总和来计算。为了让防守方有比攻击方更大的获胜几率他/她需要掷出最高点数 6。这一点可以在表 3 和表 4 的第 5 行和第 6 行中看到。最可能的整体结果是攻击方和防守方都掷出了最高点数 6这种情况的概率为 12.87%从而防守方获得胜利。这一点在表 6 中可以清楚地看到。在所有攻击方获胜的情况下最常见的方式是防守方掷出了最高点数 4。这种情况占据了攻击方获胜的 29.02%。这一点可以通过观察表 5 中防守点数为 4 时攻击方的百分比并除以该列总和来计算。仅有 5.86%的攻击胜利发生在防守方的最高点数为 1 的情况下。这里的微妙之处甚至可以说是几乎是矛盾的观点是如果防守方的最高点数是 1你几乎可以肯定99.54%攻击方会获胜但如果攻击方获胜你仍然可以有信心94.14%防守方没有掷出最高点数 1尽管坦率地说和你在得知攻击方获胜之前的信心97.2%相比信心略有降低。概率真是太神奇了。第一个数字可以从表 5 中计算得出。第二个数字直接来自表 4。第三个是第一个的补集第四个可以从表 1 中计算得出。因此攻击方在第一次战斗中实际上处于不利地位。那么成吉思汗是如何在战争中如此有效地击败敌人的呢也许这预示着第二场战斗中等待我们的是更微妙的情况。或者这也可能说明《风险》游戏未能有效地解释历史上最伟大的征服。或者也许更让人兴奋的是两者兼有第二部分见。对于有数学背景的人来说这似乎表明对于所有小于或等于 k 的 x3x²-3x1 的和等于 k³以满足显然的要求即对所有 x小于等于 k求和得到的排列数其最大值等于 3 个骰子所能产生的 k 个替代方案的总数。实际上通过归纳法可以简单证明这一点。显然对于基本情况 x1 是成立的因为 3(1)²-3(1)1 1³。然后我们必须证明对于所有小于或等于 k 的 x3x²-3x1 的和等于 k³前提是已知所有小于或等于 k-1 的 x3x²-3x1 的和等于(k-1)³。因为(k-1)³ k³-3k²3k-1显然加上 3k²-3k1 后结果将是 k³。QED。条件概率意味着给定某种条件下的概率。例如如果防守方掷出了最高点数 6则攻击方的胜利条件概率为 0%因为在这种情况下他无法获胜。但这仅仅是如果防守方掷出了最高点数 6。联合概率仅仅意味着两个事件同时发生的概率。为了使数学公式形式化我们需要一些符号。设 A₁ 和 D₁ 分别表示攻击和防御的最高掷骰点数。此外设 d 表示防御可能的最高掷骰点数显然它可以取从 1 到 6 之间的任何值。那么攻击方获胜的概率可以通过计算以下求和公式来得出https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/0d884e7a967e6316785c405e30661ae7.png数学公式图像由作者提供
