复变函数：拉普拉斯逆变换、常见性质、解微分方程的一般通法

目录一、拉普拉斯逆变换1傅里叶变换中的Fw辅助函数2借助傅里叶逆变换还原成f(t)得到拉普拉斯逆变换公式二、拉普拉斯变换的常见性质1线性性质2时移性质3频移性质4时域微分性质1阶微分5时域微分性质高阶6时域缩放性质7时域积分性质8频域微分性质三、利用拉普拉斯变换求解常微分方程一、拉普拉斯逆变换在学完拉普拉斯正变换后已经可以把任意函数压缩成为绝对可积形式从而使用傅里叶变换。但万一题目给我们的是拉普拉斯变换的结果Gw如何反过来求解原信号函数ft呢这就是拉普拉斯反演公式也称为拉普拉斯逆变换的由来。即类似傅里叶逆变换将频域转换为时域。在后续我们使用拉普拉斯变换化简微分方程时候就需要用到所以先来推导一下。1傅里叶变换中的Fw辅助函数也就是说衰减后函数g(t)的傅里叶变换等价于原函数f(t)的拉普拉斯变换。2借助傅里叶逆变换还原成f(t)得到拉普拉斯逆变换公式其实在写到这里的时候我产生了一个疑问为什么傅里叶变换中明明只用了i这样的虚数单位即可而你拉普拉斯却要用Sσiw这样的完整复数呢查阅资料后得知傅里叶变换只能处理σ0情况的纯虚频率只能分析绝对可积的信号。即傅里叶从时域转换得到的频域是一个纯虚频域。而拉普拉斯既然是傅里叶的推广必定会将频域升级成完整的复数域。其中实部σ用来帮助信号衰减到可用范围虚部w则是傅里叶的功能用来分析频谱组成。其次拉普拉斯正变换天然就是关于s的函数只不过一般我们初学习惯写成Sσiw的形式所以拉普拉斯逆变换也得是对偶形式同样是关于s的函数。最后写成s的形式容易套用复变函数中曾学过的留数定理从而用极点的留数和来等效替代这个积分结果方便运算。还有一点容易记混淆拉普拉斯正变换的上下限是0∞时间而逆变换的上下限则是σ-i∞σi∞频域。这是因为正变换是对信号源做了变换而信号本身就规定了从0时刻才产生有而逆变换则是对频率w积分天然不与现实中的时间挂钩。其中频域是由正、负两种频域组成的他们与实数域的频率关系是由欧拉公式决定的所以不要再认为负频域没有用处啦二、拉普拉斯变换的常见性质拉普拉斯变换在推导各种性质的时候其实和傅里叶一样对原函数ft改写就只改写这一部分而e^-st保持不动对像函数改写就保持原函数不变。最终再利用变量代换得到性质即可。1线性性质2时移性质时移中正负号保持不变。3频移性质频移中正负号要取反。4时域微分性质1阶微分5时域微分性质高阶这个式子非常关键一定要牢记这就是解常微分方程的原理。6时域缩放性质7时域积分性质既然时域微分性质是后续用拉普拉斯变换接微分方程的关键那么它的对立面积分有么有什么用处呢由于时域微分性质是S*Fsf(0)有关的多项式则由于积分和微分是对偶形式所以时域积分性质是Fs/s-y0相关多项式。不过不同的是由于此时关于y0的在一阶情况下只有一项且值为0所以在后续升级成高阶的时候只需要把S改写成S^n即可相较于时域微分性质少了后面多项式小尾巴。8频域微分性质这个性质我感觉用的不多所以也就不用记忆啦。三、利用拉普拉斯变换求解常微分方程关于这个等式右侧的查表法得到的激励公式是需要大家记忆常见的公式的因为可能考试并不会直接给你一张表。这个公式本质是用拉普拉斯逆变换留数定理得到的结果这其中可能会用到围道积分、约当引理等公式。我们下一篇文章将详细讲解。