✅作者简介热爱科研的Matlab仿真开发者擅长毕业设计辅导、数学建模、数据处理、建模仿真、程序设计、完整代码获取、论文复现及科研仿真。 往期回顾关注个人主页Matlab科研工作室 关注我领取海量matlab电子书和数学建模资料个人信条格物致知,完整Matlab代码获取及仿真咨询内容私信。 内容介绍⛳️ 运行结果一、研究背景分数阶微积分的兴起分数阶微积分作为传统整数阶微积分的拓展近年来在众多领域展现出独特优势。与整数阶微积分相比它能更精准地刻画具有记忆和遗传特性的复杂系统。在物理、化学、生物医学、工程等领域许多现象无法用整数阶微积分准确描述而分数阶微积分提供了更强大的数学工具。例如在粘弹性材料研究中分数阶导数可有效描述材料的应力 - 应变关系因其能捕捉材料对过去历史状态的依赖性。信号处理的需求在信号处理领域随着技术发展对信号特征提取和分析的精度要求不断提高。传统整数阶导数在处理复杂信号时存在局限性难以充分挖掘信号中的隐藏信息。而分数阶导数能够捕捉信号的非局部特性和长期依赖性为信号处理提供新的视角。例如在生物医学信号处理中脑电图EEG和心电图ECG信号包含丰富的生理信息分数阶导数有助于提取这些信号的细微特征辅助疾病诊断。二、高斯函数与 Caputo - Fabrizio 分数阶导数高斯函数高斯函数因其良好的数学性质和广泛的物理意义在信号处理中应用广泛。其表达式为Caputo - Fabrizio 分数阶导数Caputo - Fabrizio 分数阶导数是分数阶导数的一种定义形式与其他分数阶导数定义相比它在处理实际问题时具有一些独特优势。其定义基于指数核函数这使得在求解分数阶微分方程时相较于传统的基于幂律核的分数阶导数计算过程可能更简便且在描述具有有限记忆特性的系统时更为合适。例如在一些涉及材料老化或生物系统动态变化的问题中Caputo - Fabrizio 分数阶导数能够更好地反映系统对近期历史状态的依赖性。三、基于高斯函数的 Caputo - Fabrizio 分数阶导数闭式表达式推导理论基础推导基于高斯函数的 Caputo - Fabrizio 分数阶导数闭式表达式需要综合运用分数阶微积分理论、高斯函数的数学性质以及相关的积分变换方法如拉普拉斯变换。通过对 Caputo - Fabrizio 分数阶导数定义式与高斯函数进行积分运算并利用拉普拉斯变换的性质将时域中的复杂积分转化为频域中的代数运算从而简化计算过程。推导过程首先根据 Caputo - Fabrizio 分数阶导数的定义对高斯函数进行分数阶求导运算。在运算过程中利用高斯函数的导数性质以及指数函数的积分特性逐步化简积分表达式。然后通过巧妙的变量代换和数学变换结合拉普拉斯变换对积分进行求解。经过一系列严格的数学推导和化简最终得到基于高斯函数的 Caputo - Fabrizio 分数阶导数的闭式表达式。这个闭式表达式为进一步研究高斯函数在分数阶微积分框架下的性质以及在信号处理中的应用提供了基础。四、在信号处理中的应用特征提取在信号处理中基于高斯函数的 Caputo - Fabrizio 分数阶导数闭式表达式可用于提取信号的独特特征。由于分数阶导数能够捕捉信号的非局部和长期依赖特性结合高斯函数的平滑和局部化特性可以有效地提取信号中的细节信息。例如在语音信号处理中通过计算语音信号与基于高斯函数的 Caputo - Fabrizio 分数阶导数的卷积能够突出语音信号中的特定频率成分和相位变化有助于语音识别和情感分析。滤波与降噪该闭式表达式还可应用于信号的滤波与降噪。将其作为滤波器的核函数与噪声污染的信号进行卷积运算。高斯函数的平滑特性能够抑制高频噪声而 Caputo - Fabrizio 分数阶导数的非局部特性可以在降噪的同时保留信号的重要结构信息。例如在图像去噪中基于此闭式表达式设计的滤波器能够在去除高斯噪声的同时更好地保留图像的边缘和纹理细节相较于传统的整数阶导数滤波器能够提供更清晰、更准确的图像恢复效果。 部分代码function [out1,out2, out3] fracmexihat(LB,UB,N,label)%MEXIHAT Mexican hat wavelet.% [PSI,X] MEXIHAT(LB,UB,N) returns values of% the Mexican hat wavelet on an N point regular% grid in the interval [LB,UB].% Output arguments are the wavelet function PSI% computed on the grid X.%% This wavelet has [-5 5] as effective support.%% See also WAVEINFO.if nargin 4,label fmxh2.00;if nargin 3,N 168;if nargin 2,UB 8;if nargin 1,LB -5;endendendend%[LB,UB,N,label] deal(varargin{:});ind strncmpi(fmxh,label,4);if isequal(ind,1) label(1:4) []; endnu str2double(deblank(label));if isempty(nu) error(** fmxh: Invalid wavelet number!); endif (nu 0) || (nu 6)error(** fmxh: Invalid value for nu **)end% Prepare some variables : Mean, StDev and out2mu 10; %(UB - LB)/2;sigma 1; %(UB - LB)/2/5; % due 5 * sigmaout2 linspace(LB,UB,N);t out2 mu;% Set a default value for nuv 2%if nargin 5, nu 2; end%% Obtain parameters for the calculation of (0 nu 1)-order derivativenux nu - floor(nu);alpha nux./(1 - nux);par1 -(t - mu - sigma^2.*alpha/2).*alpha;par3 (mu/sigma sigma.*alpha)/sqrt(2);par2 t/sigma/sqrt(2) - par3;% Explicit PseudoGaussian Integrals (mu - x)fcn (x, a1, t1) exp(-(x.*x - 2*x.*(musigma^2.*a1)mu^22*sigma^2.*a1.*t1)/2/sigma^2);% for K 1 : mY nan(1,N);for ic 1 : N,Y(1,ic) integral((x) fcn(x,alpha,t(1,ic)), 0, t(1,ic));end% Obtain the fractional partK1 sqrt(1/2/pi)*(1alpha);Df1 K1.*(exp(par1-par2.^2)-exp(par1-par3.^2))/sigma;Df2 K1.*alpha.*Y/sigma;Df Df1-Df2;% Find first and second ordinary derivativesdG1 (exp(-(mu - t).^2/(2*sigma^2)).*(2*mu - 2*t))/(2*sigma^3*sqrt(2*pi));dG2 -(exp(-(mu - t).^2/(2*sigma^2)).*(- mu^2 2*mu*t sigma^2 - t.^2))/sigma^5/sqrt(2*pi);dG3 -(exp(-(mu - t).^2/(2*sigma^2)).*(mu - t).*(- mu^2 2*mu*t 3*sigma^2 - t.^2))/sigma^7/sqrt(2*pi);dG4 (exp(-(mu - t).^2/(2*sigma^2)).*(mu^4 - 4*mu^3*t - 6*mu^2*sigma^2 6*mu^2*t.^2 12*mu*sigma^2*t - 4*mu*t.^3 3*sigma^4 - 6*sigma^2*t.^2 t.^4))/sigma^9/sqrt(2*pi);dG5 (exp(-(mu - t).^2/(2*sigma^2)).*(mu - t).*(mu^4 - 4*mu^3*t - 10*mu^2*sigma^2 6*mu^2*t.^2 20*mu*sigma^2*t - 4*mu*t.^3 15*sigma^4 - 10*sigma^2*t.^2 t.^4))/sigma^11/sqrt(2*pi);dG6 -(exp(-(mu - t).^2/(2*sigma^2)).*(- mu^6 6*mu^5*t 15*mu^4*sigma^2 - 15*mu^4*t.^2 - 60*mu^3*sigma^2*t 20*mu^3*t.^3 - 45*mu^2*sigma^4 90*mu^2*sigma^2*t.^2 - 15*mu^2*t.^4 90*mu*sigma^4*t - 60*mu*sigma^2*t.^3 6*mu*t.^5 15*sigma^6 - 45*sigma^4*t.^2 15*sigma^2*t.^4 - t.^6))/sigma^13/sqrt(2*pi);% Find the high order fractional derivativeswitch floor(nu)case 1dy (alpha 1)*dG1 - alpha*Df;case 2dy (alpha 1)*((-alpha)*dG1 dG2) (- alpha)^2*Df;case 3dy (alpha 1)*((-alpha)^2*dG1 (-alpha)*dG2 dG3) (- alpha)^3*Df;case 4dy (alpha 1)*((-alpha)^3*dG1 (-alpha)^2*dG2 (-alpha)*dG3 dG4) (- alpha)^4*Df;case 5dy (alpha 1)*((-alpha)^4*dG1 (-alpha)^3*dG2 (-alpha)^2*dG3 (-alpha)*dG4 dG5) (- alpha)^5*Df;case 6dy (alpha 1)*((-alpha)^5*dG1 (-alpha)^4*dG2 (-alpha)^3*dG3 (-alpha)^2*dG4 (-alpha)*dG5 dG6) (- alpha)^6*Df;end% Compute values of the Mexican hat wavelet.out1 -dy;out1 out1/(max(out1));out3 dy/max(dy); 参考文献J. M. Cruz-Duarte, J. Rosales-Garcia, C. R. Correa-Cely, A. Garcia-Perez, and J. G. Avina-Cervantes, “A closed form expression for the Gaussian–based Caputo–Fabrizio fractional derivative for signal processing applications,” Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, vol. 61, pp. 138–148, 2018, doi: 10.1016/j.cnsns.2018.01.020.往期回顾扫扫下方二维码
【图像处理】基于高斯函数的Caputo-Fabrizio分数阶导数闭式表达式及其在信号处理中的应用 附matlab代码
发布时间：2026/7/26 3:02:41
✅作者简介热爱科研的Matlab仿真开发者擅长毕业设计辅导、数学建模、数据处理、建模仿真、程序设计、完整代码获取、论文复现及科研仿真。 往期回顾关注个人主页Matlab科研工作室 关注我领取海量matlab电子书和数学建模资料个人信条格物致知,完整Matlab代码获取及仿真咨询内容私信。 内容介绍⛳️ 运行结果一、研究背景分数阶微积分的兴起分数阶微积分作为传统整数阶微积分的拓展近年来在众多领域展现出独特优势。与整数阶微积分相比它能更精准地刻画具有记忆和遗传特性的复杂系统。在物理、化学、生物医学、工程等领域许多现象无法用整数阶微积分准确描述而分数阶微积分提供了更强大的数学工具。例如在粘弹性材料研究中分数阶导数可有效描述材料的应力 - 应变关系因其能捕捉材料对过去历史状态的依赖性。信号处理的需求在信号处理领域随着技术发展对信号特征提取和分析的精度要求不断提高。传统整数阶导数在处理复杂信号时存在局限性难以充分挖掘信号中的隐藏信息。而分数阶导数能够捕捉信号的非局部特性和长期依赖性为信号处理提供新的视角。例如在生物医学信号处理中脑电图EEG和心电图ECG信号包含丰富的生理信息分数阶导数有助于提取这些信号的细微特征辅助疾病诊断。二、高斯函数与 Caputo - Fabrizio 分数阶导数高斯函数高斯函数因其良好的数学性质和广泛的物理意义在信号处理中应用广泛。其表达式为Caputo - Fabrizio 分数阶导数Caputo - Fabrizio 分数阶导数是分数阶导数的一种定义形式与其他分数阶导数定义相比它在处理实际问题时具有一些独特优势。其定义基于指数核函数这使得在求解分数阶微分方程时相较于传统的基于幂律核的分数阶导数计算过程可能更简便且在描述具有有限记忆特性的系统时更为合适。例如在一些涉及材料老化或生物系统动态变化的问题中Caputo - Fabrizio 分数阶导数能够更好地反映系统对近期历史状态的依赖性。三、基于高斯函数的 Caputo - Fabrizio 分数阶导数闭式表达式推导理论基础推导基于高斯函数的 Caputo - Fabrizio 分数阶导数闭式表达式需要综合运用分数阶微积分理论、高斯函数的数学性质以及相关的积分变换方法如拉普拉斯变换。通过对 Caputo - Fabrizio 分数阶导数定义式与高斯函数进行积分运算并利用拉普拉斯变换的性质将时域中的复杂积分转化为频域中的代数运算从而简化计算过程。推导过程首先根据 Caputo - Fabrizio 分数阶导数的定义对高斯函数进行分数阶求导运算。在运算过程中利用高斯函数的导数性质以及指数函数的积分特性逐步化简积分表达式。然后通过巧妙的变量代换和数学变换结合拉普拉斯变换对积分进行求解。经过一系列严格的数学推导和化简最终得到基于高斯函数的 Caputo - Fabrizio 分数阶导数的闭式表达式。这个闭式表达式为进一步研究高斯函数在分数阶微积分框架下的性质以及在信号处理中的应用提供了基础。四、在信号处理中的应用特征提取在信号处理中基于高斯函数的 Caputo - Fabrizio 分数阶导数闭式表达式可用于提取信号的独特特征。由于分数阶导数能够捕捉信号的非局部和长期依赖特性结合高斯函数的平滑和局部化特性可以有效地提取信号中的细节信息。例如在语音信号处理中通过计算语音信号与基于高斯函数的 Caputo - Fabrizio 分数阶导数的卷积能够突出语音信号中的特定频率成分和相位变化有助于语音识别和情感分析。滤波与降噪该闭式表达式还可应用于信号的滤波与降噪。将其作为滤波器的核函数与噪声污染的信号进行卷积运算。高斯函数的平滑特性能够抑制高频噪声而 Caputo - Fabrizio 分数阶导数的非局部特性可以在降噪的同时保留信号的重要结构信息。例如在图像去噪中基于此闭式表达式设计的滤波器能够在去除高斯噪声的同时更好地保留图像的边缘和纹理细节相较于传统的整数阶导数滤波器能够提供更清晰、更准确的图像恢复效果。 部分代码function [out1,out2, out3] fracmexihat(LB,UB,N,label)%MEXIHAT Mexican hat wavelet.% [PSI,X] MEXIHAT(LB,UB,N) returns values of% the Mexican hat wavelet on an N point regular% grid in the interval [LB,UB].% Output arguments are the wavelet function PSI% computed on the grid X.%% This wavelet has [-5 5] as effective support.%% See also WAVEINFO.if nargin 4,label fmxh2.00;if nargin 3,N 168;if nargin 2,UB 8;if nargin 1,LB -5;endendendend%[LB,UB,N,label] deal(varargin{:});ind strncmpi(fmxh,label,4);if isequal(ind,1) label(1:4) []; endnu str2double(deblank(label));if isempty(nu) error(** fmxh: Invalid wavelet number!); endif (nu 0) || (nu 6)error(** fmxh: Invalid value for nu **)end% Prepare some variables : Mean, StDev and out2mu 10; %(UB - LB)/2;sigma 1; %(UB - LB)/2/5; % due 5 * sigmaout2 linspace(LB,UB,N);t out2 mu;% Set a default value for nuv 2%if nargin 5, nu 2; end%% Obtain parameters for the calculation of (0 nu 1)-order derivativenux nu - floor(nu);alpha nux./(1 - nux);par1 -(t - mu - sigma^2.*alpha/2).*alpha;par3 (mu/sigma sigma.*alpha)/sqrt(2);par2 t/sigma/sqrt(2) - par3;% Explicit PseudoGaussian Integrals (mu - x)fcn (x, a1, t1) exp(-(x.*x - 2*x.*(musigma^2.*a1)mu^22*sigma^2.*a1.*t1)/2/sigma^2);% for K 1 : mY nan(1,N);for ic 1 : N,Y(1,ic) integral((x) fcn(x,alpha,t(1,ic)), 0, t(1,ic));end% Obtain the fractional partK1 sqrt(1/2/pi)*(1alpha);Df1 K1.*(exp(par1-par2.^2)-exp(par1-par3.^2))/sigma;Df2 K1.*alpha.*Y/sigma;Df Df1-Df2;% Find first and second ordinary derivativesdG1 (exp(-(mu - t).^2/(2*sigma^2)).*(2*mu - 2*t))/(2*sigma^3*sqrt(2*pi));dG2 -(exp(-(mu - t).^2/(2*sigma^2)).*(- mu^2 2*mu*t sigma^2 - t.^2))/sigma^5/sqrt(2*pi);dG3 -(exp(-(mu - t).^2/(2*sigma^2)).*(mu - t).*(- mu^2 2*mu*t 3*sigma^2 - t.^2))/sigma^7/sqrt(2*pi);dG4 (exp(-(mu - t).^2/(2*sigma^2)).*(mu^4 - 4*mu^3*t - 6*mu^2*sigma^2 6*mu^2*t.^2 12*mu*sigma^2*t - 4*mu*t.^3 3*sigma^4 - 6*sigma^2*t.^2 t.^4))/sigma^9/sqrt(2*pi);dG5 (exp(-(mu - t).^2/(2*sigma^2)).*(mu - t).*(mu^4 - 4*mu^3*t - 10*mu^2*sigma^2 6*mu^2*t.^2 20*mu*sigma^2*t - 4*mu*t.^3 15*sigma^4 - 10*sigma^2*t.^2 t.^4))/sigma^11/sqrt(2*pi);dG6 -(exp(-(mu - t).^2/(2*sigma^2)).*(- mu^6 6*mu^5*t 15*mu^4*sigma^2 - 15*mu^4*t.^2 - 60*mu^3*sigma^2*t 20*mu^3*t.^3 - 45*mu^2*sigma^4 90*mu^2*sigma^2*t.^2 - 15*mu^2*t.^4 90*mu*sigma^4*t - 60*mu*sigma^2*t.^3 6*mu*t.^5 15*sigma^6 - 45*sigma^4*t.^2 15*sigma^2*t.^4 - t.^6))/sigma^13/sqrt(2*pi);% Find the high order fractional derivativeswitch floor(nu)case 1dy (alpha 1)*dG1 - alpha*Df;case 2dy (alpha 1)*((-alpha)*dG1 dG2) (- alpha)^2*Df;case 3dy (alpha 1)*((-alpha)^2*dG1 (-alpha)*dG2 dG3) (- alpha)^3*Df;case 4dy (alpha 1)*((-alpha)^3*dG1 (-alpha)^2*dG2 (-alpha)*dG3 dG4) (- alpha)^4*Df;case 5dy (alpha 1)*((-alpha)^4*dG1 (-alpha)^3*dG2 (-alpha)^2*dG3 (-alpha)*dG4 dG5) (- alpha)^5*Df;case 6dy (alpha 1)*((-alpha)^5*dG1 (-alpha)^4*dG2 (-alpha)^3*dG3 (-alpha)^2*dG4 (-alpha)*dG5 dG6) (- alpha)^6*Df;end% Compute values of the Mexican hat wavelet.out1 -dy;out1 out1/(max(out1));out3 dy/max(dy); 参考文献J. M. Cruz-Duarte, J. Rosales-Garcia, C. R. Correa-Cely, A. Garcia-Perez, and J. G. Avina-Cervantes, “A closed form expression for the Gaussian–based Caputo–Fabrizio fractional derivative for signal processing applications,” Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, vol. 61, pp. 138–148, 2018, doi: 10.1016/j.cnsns.2018.01.020.往期回顾扫扫下方二维码
