基于QUBO模型的量子计算在信用评分卡组合优化中的应用研究2023年MathorCup高校数学建模挑战赛A题完整解决方案摘要：本文针对2023年MathorCup高校数学建模挑战赛A题，研究了量子计算机在信用评分卡组合优化中的应用问题。在银行信用卡业务中，如何通过合理选择信用评分卡及其阈值来最大化银行最终收入，是一个典型的组合优化问题。本文首先对问题进行了深入分析，建立了基于二次无约束二值优化（QUBO）的数学模型。针对问题一（单卡最优阈值选择），构建了含1000个二值变量的QUBO模型，通过穷举法求得最优解为信用评分卡49、阈值1，最终收入达61,172.00元。针对问题二（固定三张卡的最优阈值组合），建立了含30个二值变量的QUBO模型，通过遍历所有1000种组合，求得最优阈值为卡1取阈值8、卡2取阈值1、卡3取阈值2，最终收入为27,914.82元。针对问题三（从100张卡中任选3张及阈值），由于搜索空间高达约1.62×108种组合，设计了基于Metropolis准则的模拟退火启发式算法，通过多次独立运行收敛到稳定最优解：选定信用评分卡33、8、49，对应阈值分别为6、2、3，最终收入为43,880.97元。本文详细推导了每个问题的QUBO转化过程，包括约束的惩罚函数嵌入方法，并给出了完整的数值实验与结果分析，验证了模型的有效性和算法的收敛性。关键词：信用评分卡；组合优化；QUBO模型；量子计算；模拟退火；二次无约束二值优化一、问题重述1.1 背景介绍在银行信用卡或相关的贷款等业务中，对客户授信之前，需要先通过各种审核规则对客户的信用等级进行评定，通过评定后的客户才能获得信用或贷款资格。规则审核过程实际是经过一重或者多重组合规则后对客户进行打分，这些规则被称为信用评分卡。每个信用评分卡有多种阈值设置（但只有一个阈值生效），不同的信用评分卡在不同的阈值下对应不同的通过率和坏账率。一般通过率越高，坏账率也会越高；反之，通过率越低，坏账率也越低。对银行而言，通过率越高，通过贷款资格审核的客户数量就越多，银行获得的利息收入也越多。但高通过率一般对应着高坏账率，而坏账意味着资金的损失风险。因此，银行最终收入定义为：最终收入=贷款利息收入−坏账损失\text{最终收入} = \text{贷款利息收入} - \text{坏账损失}最终收入=贷款利息收入−坏账损失1.2 已知条件参数数值贷款资金1,000,000 元银行贷款利息收入率8%信用评分卡总数100 张每张卡可选阈值10 个（编号1~10）总通过率各选定卡通过率的乘积总坏账率各选定卡坏账率的算术平均1.3 需解决的问题问题1：在100个信用评分卡中找出1张及其对应阈值，使最终收入最多。建模并转为QUBO形式求解。问题2：已选定信用评分卡1、2、3，如何设置阈值使最终收入最多。建模并转为QUBO形式求解。问题3：从100个信用评分卡中任选取3种，设置合理阈值使最终收入最多。建模并转为QUBO形式求解。二、问题分析2.1 核心经济指标推导设选定了mmm张信用评分卡，第jjj张卡选定的阈值对应的通过率为tjt_jtj，坏账率为hjh_jhj。根据题意：T=∏j=1mtj(总通过率)T = \prod_{j=1}^{m} t_j \quad \text{(总通过率)}T=j=1∏mtj(总通过率)H=1m∑j=1mhj(总坏账率)H = \frac{1}{m} \sum_{j=1}^{m} h_j \quad \text{(总坏账率)}H=m1j=1∑mhj(总坏账率)贷款利息收入：利息收入=1,000,000×0.08×T×(1−H)\text{利息收入} = 1,000,000 \times 0.08 \times T \times (1 - H)利息收入=1,000,000×0.08×T×(1−H)坏账损失：坏账损失=1,000,000×T×H\text{坏账损失} = 1,000,000 \times T \times H坏账损失=1,000,000×T×H因此，银行最终收入为：R=T×(80,000−1,080,000×H)\boxed{R = T \times (80,000 - 1,080,000 \times H)}R=T×(80,000−1,080,000×H)或等价地：R=80,000⋅T−1,080,000⋅T⋅HR = 80,000 \cdot T - 1,080,000 \cdot T \cdot HR=80,000⋅T−1,080,000⋅T⋅H2.2 QUBO模型概述二次无约束二值优化（QUBO）模型标准形式为：miny=xTQx=∑i∑jQijxixj\min y = x^T Q x = \sum_{i} \sum_{j} Q_{ij} x_i x_jminy=xTQx=i∑j∑Qijxixj其中xi∈{ 0,1}x_i \in \{0,1\}xi∈{0,1}为二值决策变量，QQQ为系数矩阵。关键转化技巧：对于约束g(x)=0g(x)=0g(x)=0，采用惩罚项P⋅g(x)2P \cdot g(x)^2P⋅g(x)2嵌入目标函数。三、模型假设与符号说明3.1 模型假设贷款资金固定为100万元，利息收入率固定为8%各信用评分卡审核结果相互独立总坏账率为各卡坏账率的算术平均每张信用评分卡有且只能选择一个阈值银行以最终收入最大化为唯一决策目标3.2 符号说明符号含义取值范围CCC信用评分卡集合{ 1,2,...,100}\{1,2,...,100\}{1,2,...,100}KKK阈值集合{ 1,2,...,10}\{1,2,...,10\}{1,2,...,10}ti,kt_{i,k}ti,k卡iii在阈值kkk下的通过率[0,1][0,1][0,1]hi,kh_{i,k}hi,k卡iii在阈值kkk下的坏账率[0,1][0,1][0,1]xi,kx_{i,k}xi,k二值决策变量{ 0,1}\{0,1\}{0,1}TTT总通过率[0,1][0,1][0,1]HHH总坏账率[0,1][0,1][0,1]RRR银行最终收入元PPP惩罚系数正数QQQQUBO系数矩阵实矩阵四、问题一的建模与求解4.1 整数规划模型决策变量：xi,k∈{ 0,1}x_{i,k} \in \{0,1\}xi,k∈{0,1}，i=1,...,100i=1,...,100i=1,...,100，k=1,...,10k=1,...,10k=1,...,10目标函数：maxR=∑i=1100∑k=110xi,k⋅ti,k⋅(80,000−1,080,000⋅hi,k)\max R = \sum_{i=1}^{100} \sum_{k=1}^{10} x_{i,k} \cdot t_{i,k} \cdot (80,000 - 1,080,000 \cdot h_{i,k})maxR=i=1∑100
基于QUBO模型的量子计算在信用评分卡组合优化中的应用研究
发布时间：2026/6/26 3:30:52
基于QUBO模型的量子计算在信用评分卡组合优化中的应用研究2023年MathorCup高校数学建模挑战赛A题完整解决方案摘要：本文针对2023年MathorCup高校数学建模挑战赛A题，研究了量子计算机在信用评分卡组合优化中的应用问题。在银行信用卡业务中，如何通过合理选择信用评分卡及其阈值来最大化银行最终收入，是一个典型的组合优化问题。本文首先对问题进行了深入分析，建立了基于二次无约束二值优化（QUBO）的数学模型。针对问题一（单卡最优阈值选择），构建了含1000个二值变量的QUBO模型，通过穷举法求得最优解为信用评分卡49、阈值1，最终收入达61,172.00元。针对问题二（固定三张卡的最优阈值组合），建立了含30个二值变量的QUBO模型，通过遍历所有1000种组合，求得最优阈值为卡1取阈值8、卡2取阈值1、卡3取阈值2，最终收入为27,914.82元。针对问题三（从100张卡中任选3张及阈值），由于搜索空间高达约1.62×108种组合，设计了基于Metropolis准则的模拟退火启发式算法，通过多次独立运行收敛到稳定最优解：选定信用评分卡33、8、49，对应阈值分别为6、2、3，最终收入为43,880.97元。本文详细推导了每个问题的QUBO转化过程，包括约束的惩罚函数嵌入方法，并给出了完整的数值实验与结果分析，验证了模型的有效性和算法的收敛性。关键词：信用评分卡；组合优化；QUBO模型；量子计算；模拟退火；二次无约束二值优化一、问题重述1.1 背景介绍在银行信用卡或相关的贷款等业务中，对客户授信之前，需要先通过各种审核规则对客户的信用等级进行评定，通过评定后的客户才能获得信用或贷款资格。规则审核过程实际是经过一重或者多重组合规则后对客户进行打分，这些规则被称为信用评分卡。每个信用评分卡有多种阈值设置（但只有一个阈值生效），不同的信用评分卡在不同的阈值下对应不同的通过率和坏账率。一般通过率越高，坏账率也会越高；反之，通过率越低，坏账率也越低。对银行而言，通过率越高，通过贷款资格审核的客户数量就越多，银行获得的利息收入也越多。但高通过率一般对应着高坏账率，而坏账意味着资金的损失风险。因此，银行最终收入定义为：最终收入=贷款利息收入−坏账损失\text{最终收入} = \text{贷款利息收入} - \text{坏账损失}最终收入=贷款利息收入−坏账损失1.2 已知条件参数数值贷款资金1,000,000 元银行贷款利息收入率8%信用评分卡总数100 张每张卡可选阈值10 个（编号1~10）总通过率各选定卡通过率的乘积总坏账率各选定卡坏账率的算术平均1.3 需解决的问题问题1：在100个信用评分卡中找出1张及其对应阈值，使最终收入最多。建模并转为QUBO形式求解。问题2：已选定信用评分卡1、2、3，如何设置阈值使最终收入最多。建模并转为QUBO形式求解。问题3：从100个信用评分卡中任选取3种，设置合理阈值使最终收入最多。建模并转为QUBO形式求解。二、问题分析2.1 核心经济指标推导设选定了mmm张信用评分卡，第jjj张卡选定的阈值对应的通过率为tjt_jtj，坏账率为hjh_jhj。根据题意：T=∏j=1mtj(总通过率)T = \prod_{j=1}^{m} t_j \quad \text{(总通过率)}T=j=1∏mtj(总通过率)H=1m∑j=1mhj(总坏账率)H = \frac{1}{m} \sum_{j=1}^{m} h_j \quad \text{(总坏账率)}H=m1j=1∑mhj(总坏账率)贷款利息收入：利息收入=1,000,000×0.08×T×(1−H)\text{利息收入} = 1,000,000 \times 0.08 \times T \times (1 - H)利息收入=1,000,000×0.08×T×(1−H)坏账损失：坏账损失=1,000,000×T×H\text{坏账损失} = 1,000,000 \times T \times H坏账损失=1,000,000×T×H因此，银行最终收入为：R=T×(80,000−1,080,000×H)\boxed{R = T \times (80,000 - 1,080,000 \times H)}R=T×(80,000−1,080,000×H)或等价地：R=80,000⋅T−1,080,000⋅T⋅HR = 80,000 \cdot T - 1,080,000 \cdot T \cdot HR=80,000⋅T−1,080,000⋅T⋅H2.2 QUBO模型概述二次无约束二值优化（QUBO）模型标准形式为：miny=xTQx=∑i∑jQijxixj\min y = x^T Q x = \sum_{i} \sum_{j} Q_{ij} x_i x_jminy=xTQx=i∑j∑Qijxixj其中xi∈{ 0,1}x_i \in \{0,1\}xi∈{0,1}为二值决策变量，QQQ为系数矩阵。关键转化技巧：对于约束g(x)=0g(x)=0g(x)=0，采用惩罚项P⋅g(x)2P \cdot g(x)^2P⋅g(x)2嵌入目标函数。三、模型假设与符号说明3.1 模型假设贷款资金固定为100万元，利息收入率固定为8%各信用评分卡审核结果相互独立总坏账率为各卡坏账率的算术平均每张信用评分卡有且只能选择一个阈值银行以最终收入最大化为唯一决策目标3.2 符号说明符号含义取值范围CCC信用评分卡集合{ 1,2,...,100}\{1,2,...,100\}{1,2,...,100}KKK阈值集合{ 1,2,...,10}\{1,2,...,10\}{1,2,...,10}ti,kt_{i,k}ti,k卡iii在阈值kkk下的通过率[0,1][0,1][0,1]hi,kh_{i,k}hi,k卡iii在阈值kkk下的坏账率[0,1][0,1][0,1]xi,kx_{i,k}xi,k二值决策变量{ 0,1}\{0,1\}{0,1}TTT总通过率[0,1][0,1][0,1]HHH总坏账率[0,1][0,1][0,1]RRR银行最终收入元PPP惩罚系数正数QQQQUBO系数矩阵实矩阵四、问题一的建模与求解4.1 整数规划模型决策变量：xi,k∈{ 0,1}x_{i,k} \in \{0,1\}xi,k∈{0,1}，i=1,...,100i=1,...,100i=1,...,100，k=1,...,10k=1,...,10k=1,...,10目标函数：maxR=∑i=1100∑k=110xi,k⋅ti,k⋅(80,000−1,080,000⋅hi,k)\max R = \sum_{i=1}^{100} \sum_{k=1}^{10} x_{i,k} \cdot t_{i,k} \cdot (80,000 - 1,080,000 \cdot h_{i,k})maxR=i=1∑100
